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Beitrag |
    
Morith H.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 17:17: | 
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Die Alternierende Gruppe An zu einer Symmetrischen Gruppe Sn hat die Ordnung n!/2.
Das ist auch anschaulich schön klar, aber wie beweist man das? |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 20:24: |
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Hi Morith
Die Aussage ist richtig für n>=2. Am leichtesten beweist man das mit dem Homorphiesatz. Mit sign(a) bezeichne ich das Vorzeichen von a. Dann ist sign:Sn->{-1,1} nämlich ein (Gruppen-)Homomorphismus, was ihr höchstwahrscheinlich in der Vorlesung bewiesen habt. Dabei ist {-1,1} mit der Multiplikation als Verknüpfung versehen. Für n>=2 ist sign aber surjektiv, denn: Ist x aus {-1,1} beliebig, so gibt es zwei Fälle zu unterscheiden:
1) x=1 Das ist aber klar, denn 1 ist das neutrale Element in {-1,1}, und ein Homomorphismus bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab, d.h. sign(id)=1 und id aus Sn
2) x=-1. Wegen n>=2 ist (1 2) in Sn, und sign((1 2))=-1=x
Also ist sign surjektiv, somit folgt nach dem Homomorphiesatz {-1,1}=Sn/Kern(sign)=Sn/An, da An gerade als Kern(sign) definiert ist. Da ord(G/H)=ord(G)/ord(H) gilt, folgt 2=ord{-1,1}=ord(Sn)/ord(An), also ord(An)=ord(Sn)/2=n!/2
viele Grüße
SpockGeiger |
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