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Beitrag |
    
chnueschu
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 14:40: | 
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hallo.
ist es richtig, dass eine gruppe, die genau 4 elemente hat, immer kommutativ ist?
chnueschu. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 20:00: |
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Hallo chnueschu
Ja, das ist richtig. Man kann sich entweder durch mögliche Verknüpfungstafeln vergewissern, dass es (bis auf Isomorphie) nur 2 Gruppen gibt, und für beide die Kommutativität nachweist. Man kann aber auch eine größere Maschinerie drauf loslassen. Es gilt nämlich, dass für jede Primzahl p eine Gruppe der Ordnung p² abelsch ist.
viele Grüße
SpockGeiger |
chnueschu
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. November, 2001 - 14:36: |
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danke SpockGeiger.
habe eben vier verknüpfungstafeln gehabt und war mir nicht so sicher, ob die wirklich stimmen (und eben alle abelsch sind).
kannst du mir sagen, wie ich schaue, wieviele bis auf isomorphie verschieden sind und was ich mir unter isomorphie vorzustellen habe?
danke.
chnueschu. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 08:01: |
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Hallo chnueschu
Ob ne Gruppe abelsch ist, kannst Du anhand der Gruppentafel sofort erkennen. Sie muss symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sein.
Zum Thema Isomorphie:
Nochmal zur Erinnerung: Zwei Gruppen heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus f zwischen ihnen gibt. Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, d.h. zu jedem Bild gibt es genau ein Urbild, und für alle x,y aus G (der Gruppe) gilt f(xy)=f(x)f(y). Jetzt kommt die entscheidende Frage. Was soll das? Die Gruppenelemente können irgendwelche Gebilde sein, z.B. könnte man in Deinem Beispiel das neutrale Element mit 1 bezeichnen und die anderen mit 2,3,4. Dann sähe eine Gruppentabelle für Z folgendermaßen aus:
x|1 2 3 4
-------------
1|1 2 3 4
2|2 3 4 1
3|3 4 1 2
4|4 3 2 1
wobei ich zukünftig die erste Zeile und Spalte (wo die Elemente stehen, die multipliziert werden) weglassen werde, da man sich darauf einigt, dass das erste Element das neutrale ist. Dann stehen in der ersten Zeile und Spalte der Tabelle die Elemente nochmal. Dises spezielle Beispiel würde ich also schreiben als
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
Nun kommt einer daher, und bezeichnet die Elemente anders. Statt 1 benutzt er e, statt 2,3,4 benutzt er a,b,c. Dann sieht die Vernüpfungstafel folgendermaßen aus:
e a b c
a b c e
b c e a
c e a b
Da die Grundmenge nun {e,a,b,c} statt {1,2,3,4}, sind diese Gruppen verschieden, obwohl die Elemente nur anders heißen. Sie nun als völlig anders zu betrachten, würde irgendwie nicht viel Sinn machen. Aber diese Umbenennung kann ich auch als Isomorphismus schreiben f:{1,2,3,4}->{e,a,b,c} mit f(1)=e, f(2)=a, f(3)=b, f(4)=c
Sind zwei Gruppen isomorph, so übertragen sich alle Eigenschaften von der einen auf die andere. Heißen die Gruppen G und H, und ist f:G->H ein Isom., so gelten auch alle Eigenschaften bezüglich der Elemente, wobei man immer diese "Umbenennung" vollführen muss, also f bzw. f-1 anwenden muss. Sind z.B. 1G das neutrale in G, 1H das neutrale in H, so gilt f(1G)=1H und f-1(1H)=1G.
Machen wir mit unserem Beipiel weiter, so hast Du jetzt das Problem, dass Du vier Tafeln hast, aber weißt, dass es nicht so viele Gruppen gibt.
Unsere Ausgangstafel war
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
Da alle Gruppentafeln über denselben Elementen definiert sind, suchen wir also eine Transformation f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4}. Da, wie oben gemerkt, f das neutrale auf das neutrale abbildet, und wir das neutrale mit 1 bezeichnen, müssen wir 1 auf 1 abbilden. Bei dem Rest müssen wir sozusagen alles ausprobieren. Vertauschen wir einfach mal 2 und 3, so erhalten wir:
1 3 2 4
3 2 4 1
2 4 1 3
4 1 3 2
Nun sind aber die Spalten und Reihen in der falschen Reihenfolge. Zur Erinnerung: Eigentlich sieht die Tabelle vollständig so aus:
x|1 3 2 4
---------
1|1 3 2 4
3|3 2 4 1
2|2 4 1 3
4|4 1 3 2
Um diese Gruppentabelle aber mit anderen zu vergleichen, müssen wir eine einheitlich Sortierung haben. Sortieren wir die Zeilen, so erhalten wir:
1 3 2 4
2 4 1 3
3 2 4 1
4 1 3 2
Sortieren wir die Spalten, so erhalten wir:
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 2 1
4 3 1 2
Und das ist höchstwahrscheinlich eine, die Du auch erhalten hast, die beiden beschreiben nun (bis auf Isomorphie) die gleiche Gruppe. Diesen Begriff sollte ich nochmal erklären. Diese Gruppen sind eigentlich verscheiden, aber da sie isomorph sind, betrachten Alberaiker sie als gleich. Da sie aber nicht so richtig gleich sind, bezeichnet man sie als gleich bis auf Isomorphie.
Am Ende bleiben Dir dann zwei Gruppentafeln. Da hast Du dann eigentlich noch zu zeigen, dass diese Gruppen nicht isomorph sind.
Hab leider keine Zeit mehr
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 11:00: |
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Sorry chnueschu
Ich bin an der Uni, und auf einmal meinte der Rechner, mir unbedingt mitteilen zu müssen, dass er gleich runterfährt, und dann alle Daten verloren wären, also hab noch schnell abgeschickt, was ich bis dahin geschafft hatte.
Also weiter im Text. Wenn Du alles richtig machst, solltest Du rauskriegen, dass drei der Tafeln zu
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
isomorph sind, und dann noch eine der Form
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
Das ist die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. Damit man weiß, dass sie nicht isomorph zu der oberen ist, probiert entweder alle Transformationen von {1,2,3,4} in sich selbst aus. Es wären 16, aber da wir wissen, dass das neutrale bei uns immer 1 ist, und wir außerdem die Identität nicht betrachten müssen, weil sich dann nichts ändert, bleiben noch 5.
Oder man argumentiert anders: Bei der kleinschen Vierergruppe steht auf der Diagonale immer nur 1, also das neutrale, d.h. für alle a aus V (kleinsche Vierergruppe) gilt aa=a²=1. In der anderen Gruppe (nennen wir sie G) gibt es aber nur zwei solche Elemente. Dann können sie nicht isomorph sein. Warum? Ich sagte ja schon eingangs, dass sich bei Isomorphie alle Eigenschaften übertragen, auch die von einzelnen Elementen, gäbe es also einen Isom. von V nach G, so müsste ein a aus V auf ein Element, sagen wir b, abgebildet werden, dessen Quadrat nicht das neutrale ist. Dann folgt aber f(1)=f(a²)=f(aa)=f(a)f(a)=bb=b²¹1. Das steht aber im Widerspruch dazu, dass ein Isomorphismus das neutrale auf das neutrale abbildet. Also ist unsere Annahme falsch, und die Gruppen sind nicht isomorph.
viele Grüße
SpockGeiger |
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