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Jen (lilith83)
Neues Mitglied
Benutzername: lilith83
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 06:41: | 
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Hallo. folgende aufgabe:
Seien P=(p1,p2) und Q=(q1,q2) zwei verschiedene Punkte in der Ebene.
Zeigen Sie:
Die Menge
g={(x,y)element IR²:
|1 p1 p2|
|1 q1 q2| =0}
|1 x y|
beschreibt die Gerade durch die Punkte P und Q.
Vielen Dank im voraus!!!
MfG,
Jen
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 311
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 09:55: |
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Hi,
schöne Aufgabe!
Der "Beweis" ist so einfach, dass man ihn bereits (fast) durch Hinsehen durchführen kann:
Zunächst zeigen wir, dass die durch diese Determinante gegebenen Funktionsgleichung linear (d.h. die Gleichung einer Geraden) ist:
Lösen wir zunächst die 3-reihige Determinmante nach dem Entwicklungssatz - nach den Elementen der ersten Spalte - auf:
q1*y - q2*x - p1*y + p2*x + p1*q2 - p2*q1 = 0
Diese Gleichung ist linear und stellt daher eine Gerade dar! Als Fleissaufgabe können wir noch etwas umformen:
-x*(q2 - p2) + y*(q1 - p1) = p2*q1 - p1*q2
y = [(q2 - p2)/(q1 - p1)] * x + (p2*q1 - p1*q2)/(q1 - p1)
Dies stellt die Gleichung der Gerade in der Form
y = mx + d
dar. Die Steigung m ergibt sich aus dem Differenzendreieck der beiden Punkte P und Q, und ist auch schon geometrisch als m = (q2 - p2)/(q1 - p1) verifizierbar.
Wenn nun P ein Punkt auf der durch diese Determinante gegebenen Funktionsgleichung sein soll, muss man nur die laufenden Koordinaten x, y bereits in der Determinante (!) durch p1 und p2 ersetzen! Die erste und dritte Zeile der Determinante sind dann gleich und die Determinante muss deswegen den Wert 0 haben.
|1 p1 p2|
|1 q1 q2| =0
|1 p1 p2|
Analog verfahren wir mit dem Punkt Q, es gilt dann:
|1 p1 p2|
|1 q1 q2| =0
|1 q1 q2|
P und Q liegen somit auf der Geraden. Was zu zeigen war!
Wenn man will, kann man auch jeweils die Koordinaten von P bzw. Q anstatt x und y in die w.o. erhaltenen lineare Beziehung
q1*y - q2*x - p1*y + p2*x + p1*q2 - p2*q1 = 0
einsetzen und erhält beide Male eine Identität!
Gr
mYthos
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Jen (lilith83)
Neues Mitglied
Benutzername: lilith83
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 11. Januar, 2003 - 10:13: |
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Dank Dir....
war wirklich nicht schwer.
Aber irgendwie fehlen mir immer die Ansätze.
:-X Jen |
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