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Ungleichungsbeweis (Folgen)

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Tekki (rieckhof)
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Benutzername: rieckhof

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 18:12:   Beitrag drucken

Hi, komme mit dieser Aufgabe nicht klar.

Zu zeigen ist, dass fuer alle ungeraden n (n e N) gilt:

1/(Sqrt(2n)-1)-1/(Sqrt(2n+2)+1) > 1/(n+1)
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heimdall (gjallar)
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Benutzername: gjallar

Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 09:15:   Beitrag drucken

1/(Ö(2n) - 1) - 1/(Ö(2n+2) + 1) >

1/(Ö(2n) - 1) - 1/(Ö(2n) + 1) =

2/(2n - 1) = 1/(n - 1/2) > 1/(n+1) , für alle n ³ 1

Gruß,
Gjallar
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 438
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 09:28:   Beitrag drucken

Tekki,

Erweitere den ersten Bruch mit sqrt(2n)+1, den zweiten
mit sqrt(2n+2)-1. Die Ungleichung wird dann

(sqrt(2n)+1)/(2n-1) - (sqrt(2n+2)-1)/(2n+1) > 1/(n+1).

Isoliere links die Wurzelterme:

sqrt(2n)/(2n-1)-sqrt(2n+2)/(2n+1)>

1/n+1)-1/(2n-1)-1/(2n+1).

Die rechte Seite ist = - (4n+1)/[(n+1)(4n2-1)] < 0.

Verifiziere nun noch, dass die linke Seite stets > 0 ist
(die Folge n® sqrt(2n)/(2n-1) ist monoton fallend).
Damit ist die Behauptung bewiesen.Für die Bedingung,dass n ungerade sein soll,sehe ich keinenGrund. Rechne bitte alles
nach !
mfG Orion

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