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Varon (wvvaron)
Mitglied
Benutzername: wvvaron
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 16:09: | 
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Ich habe mir schon an die 200 Tage lang den Kopf über folgendes Problem zerbrochen:
Ist es möglich die Quadratwurzel einer x-beliebigen Zahl zu ermitteln (deren Ergebnis eine natürliche Zahl ist) ???
Ohne Newtonsche Näherungsregel! (Wie es die Taschenrechner machen)
Ich habe die Frage schon vor einem Jahr gepostet, aber damals bin ich nicht viel weiter gekommen. Ich probiere es jetzt noch einmal.
Interessant ist:
a) sqrt(7744)=88
b) 38² = 1444
c) die endgültige Quersumme (Die Quersumme, die man erhält wenn man solange die Quersumme bildet, bis man nur noch genau eine Ziffer hat) einer Quadratzahl ist 1, 4, 7 oder 9 (Unbewiesen, aber ich finde keine andere!)
d) 40² = 1600 (logisch, aber sollte man auch beachten)
Ausserdem:
1² +3 = 2²
2² +5 = 3²
3² +7 = 4²
4² +9 = 5² usw.
die roten Zahlen steigen jeweil um 2. Damit kann man dann aber doch wiederum nix anfangen, weil man immer wieder eine Referenzzahl braucht...
Fragen, Anregungen? Vielleicht ist ja noch einer so krank wie ich. Man sollte auf alle Fälle über die Quersumme rangehen!
(Ich habe 3 Regeln, wie man eine Zahl auf ihre Teilbarkeit durch 7 prüfen kann rausgefunden, ebenfalls über Quersumme, die Wurzel ist wohl nur eine Erweiterung *hoff* ;-) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 816
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 17:40: |
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zu c)
diese Ziffernsumme ist der "Neunerrest" r der Quadratzahl Q,
d.h.
Q = 9*q + r mit r < 9
Wenn man die Quadratzahlen
(9a±0)²,(9a±1)²..(9a±4
berechnet
entstehen nur die
Formen
9b,9b+1,9b+4, 9b+7,
entsprechende 9erResten 0,1,4,7,
die Endgültige Quersumme 9 ist eigentlich nur
für 9 möglich
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Xell (vredolf)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: vredolf
Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 17:50: |
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zu "Ausserdem":
n^2 + (2n+1) = (n+1)^2
Als rote Zahlen treten hier also alle ungeraden Zahlen auf.
Eine Methode, die im Kopf sicher problematisch ist:
Teile die gegebene Zahl X sooft durch p=2 wie möglich.
Überprüfe ob die Vielfachheit mit der X durch p teilbar ist,
gerade ist. Ist sie ungerade, ist sqrt(X) nicht natürlich.
Verfahre ebenso mit p=3, p=5, ... allgemein allen Primzahlen, die
in Frage kommen(bis zu einer gewissen oberen Schranke). |
Varon (wvvaron)
Mitglied
Benutzername: wvvaron
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 17:51: |
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Thnx. Na das hilft doch schonmal weiter. |
Varon (wvvaron)
Mitglied
Benutzername: wvvaron
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 18:24: |
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Mir ist gerade noch etwas aufgefallen:
Ich habe die Neunerreste (der ersten 25 Q-Zahlen) hintereinander geschrieben:
1497794191497794191497794
Ab jeder 9ten Stellen wiederholen sich diese Zahlen.
7744 hat den Neunerrest 4
88 modulus 9 = 7 (88-81)
und voilà an der 7ten Stelle der Reihe der Neunerreste steht eine 4.
(Beitrag nachträglich am 08., Januar. 2003 von wvvaron editiert) |
Varon (wvvaron)
Mitglied
Benutzername: wvvaron
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 19:05: |
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Ich habe noch etwas festgestellt. Vielleicht hilft auch das noch:
Die letzten 2 Ziffern einer Q-Zahl gehören zu einer weiteren Q-Zahl. (Der Satz ist unvollständig, aber ich probiere es mal anhand eines Beispieles):
10000 -> 100 (100-100)²= 000
...
8100 -> 90 (100-90)² = 100
7921 -> 89 (100-89)² = 121
7744 -> 88 (100-88)² = 144
7569 -> 87 (100-87)² = 169
7396 -> 86 (100-86)² = 196
...
6241 -> 79 (100-79)² = 441
usw.
Allerdings müsste man nun ja doch wieder Die Q-Zahlen bis 100 können.
Also muss man aus den beiden Zahlen davor auch noch etwas ablesen können. Was dann die Zahlen evtl. auf vermutliche 30% schrumpfen könnte. Was wiederum nur ein Können der Q-Zahlen bis 30 mit sich bringt. Aber das gilt dann wiederum nur bei Zahlen bis 10000.
Wenn man nun die grünen Zahlen von den vorderen Zahlen der Q-Zahlen abzieht.
bekommt man eine Folge mit dem Abstand 2.
10000 -> 100-0 = 100
...
8100 -> 81-1 = 80 (100-90)² = 100
7921 -> 79-1 = 78 (100-89)² = 121
7744 -> 77-1 = 76 (100-88)² = 144
7569 -> 75-1 = 74 (100-87)² = 169
7396 -> 73-1 = 72 (100-86)² = 196
...
6241 -> 62-4 = 60 (100-79)² = 441
usw. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 817
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 21:41: |
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ja, überlgeg Dir (100a + b)², b < 100 .
Und
die Ziffern gehören nicht bloß zu EINER weiteren Q-Zahl sondern beliebig vielen.
Ich
hoffe, nich als "Spielverderber" zu gelten
wenn
ich außerdem darauf Hinweise, daß ähnliches
auch
für (1000a + b)², b < 1000
und
allgemein (10n+b), b < 10n
gilt.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Varon (wvvaron)
Mitglied
Benutzername: wvvaron
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 09-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. Januar, 2003 - 00:02: |
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>hoffe, nich als "Spielverderber" zu gelten
Nein, keine Angst! Ich bin für alle Hinweise etc. dankbar. Wenn ich auch nicht zur Lösung komme, hilft es dennoch zum mathematischen Verständnis. |
Roberto Neumann (ceagle)
Mitglied
Benutzername: ceagle
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 11:36: |
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Huhu!
Auch, wenns dich in dem, was du genau willst, ueberhaupt nicht naeher bringt, habich zumindest eine recht einfache Formel, um eine beliebige Wurzel anhand moeglichst der naechsten Quadratzahl (dessen Wurzel eine ganze Zahl ist) abzuschaetzen... so waere beispielsweise die Wurzel aus 22, wenn man als Orientierungszahl die 25 (5^2) nimmt, die Wurzel aus 5 minus drei Zehntel - Wurzel aus 5, weil wir uns an dieser Zahl orientieren; drei, weil der Unterschied zwischen 22 und 25 genau drei ist; Zehntel, weil das Doppelte der Wurzel 25 genau zehn ist. Je nach Orientierungszahl ist es mehr oder weniger genau - ist sie weiter weg von der gesuchten Zahl, wird das Ergebnis auch ungenauer.
Mathematisch ausgedrueckt:
Sqr(x) = Sqr(a) + [x-a]/[2*Sqr(a)]
Und parallel dazu habich auch ´ne Iteration hergeleitet/her-erraten, die - wie ich spaeter feststellen durfte - eine extreme Vereinfachung der newtonschen Iteration ist. Meine Annaeherung kommt dafuer nur mit den vier Grundrechenarten aus:
z(n+1) = 1 + [x-1]/[z(n)+1]
Dass es ohne Potenzen ankommt, liegt an der Vereinfachung der nun folgenden Variable a, welche ich einfach durch 1 ersetzt habe:
z(n+1) = a + [x-a^2]/[z(n)+a]
Da a=1=a^2 ist und es es voellig schnuppe ist, was genau man fuer a einsetzt, habich mir gedacht: setzte mal 1 ein, dann isses auch etwas einfacher merkbar.
Aber eine aehnlich elementar-aussehende Formel, um ganzzahlige Wurzeln zu ermitteln, ist mir leider nicht bekannt.
Nur noch eine kleine Sache, was die Total-Quersummen angeht, wie ich sie nenne - hab mich schon seit Ewigkeiten damit befasst, auch wenn ich dabei nicht das Motiv hatte, letztlich Total-Quersummen zu erhalten, sondern eine art von "Codezahlen", die fuer ein Encryption-Verfahren dienen sollten.
Moechte man nun 1234567890 in dessen Totalquersumme aufloesen, kann man erstmal alle Nullen, alle Neunen sowie alle Zahlen, die zusammen 9 ergeben, einfach rausmachen. Um letzteres zu erreichen, kann man beispielsweise auch von einer Zahl 2 abziehen und auf eine andere 2 draufrechnen (sofern das ermoeglicht, dass eine weitere Zahl 9 wird und eliminiert werden kann). Aus der obigen Zahl wird dann, um es komplett zu schreiben...
1234567890 | 9 weg, 0 weg
12345678 | 1+8 = 9
234567 | 2+7 = 9
3456 | 3+6 = 9
45 | 4+5 = 9
0 | 0 = 9 (Sonderregel hierfuer: kommt am Ende Null raus, ist die Totalquersumme 9 - somit ist die Zahl dann zweimal durch 3 teilbar)
Ist meiner Meinung nach einfacher, wenn man das ganze ein bisschen drauf hat - und ueben kann mans immer, wenn man beispielsweise in einer Stadt herumlaeuft - da steht vielleicht mal irgendwo eine Anzeige rum, wie viele freie Parkplaetze in 4 Parkgaragen sind, da hat man schonmal bis zu 20 Zahlen, deren Totalquersumme man so im Kopf hinbekommen koennte. Oder alle Zahlen, die irgendwo zusammen auf einem Info-Schild stehen usw. - driftet aber jetzt zu weit vom Thema hier ab :o)
Auf dieser Basis ist mir uebrigens nochwas aufgefallen: warum ist eigentlich eine Zahl durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme es auch ist? Durch ein wenig Herumprobiererei (hat umdie 5 Minuten gedauert) ist mir aufgefallen, dass es damit zusammenhaengt, dass der maximale Wert pro Ziffer 3^2 ist. Wenn man also eine Zahl in ein 17er-System konvertiert (maximal 16 pro Ziffer, "10" waere dann 17 im Dezimalsystem), koennte man anhand der Quersumme im 17er-System erkennen, ob eine Zahl durch 4 teilbar ist. Selbiges gilt fuer jegliche Primzahl - ist nur insofern ungeeignet, dass die Umrechnungssysteme eben sehr gross werden, je hoeher der Teiler ist. Will man auf diesem Weg wissen, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, muesste man sie in ein 50er-System umrechnen - so dass also je eine Ziffer maximal 49 als Wert haben kann, "10" waere in diesem System dann 50 im Dezimalsystem.
Hoffe, das hilft etwas oder gibt einen kleinen Denkanstoss - auch wennichs nicht glaube ;)
Roberto |
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