    
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 436
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| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 15:46: | 
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Sabrina,
Notieren wir zwecks Abkürzung die Dgl. in der Form
(1) L[y] = f(x).
Sind dann y1,y2 zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen Dgl. L[y]=0,und ist
w eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.
L[w]=f(x), so lautet die allgemeine Lösung y der gegebenen Dgl (1):
y = C1*y1+C2*y2 + w.
Oft findet man w "durch scharfes Hinsehen". Andernfalls kann man "Variation der Konstanten"
anwenden:
Ansatz:
w= u*y1+v*y2
wobei u(x),v(x) noch zu bestimmende Funktionen sind.
Man verfügt über u,v folgendermassen:
(2) u'*y1+v'*y2 = 0
(3) u'*y1' + v'*y2' = f(x).
Damit wird (rechne nach !) L[w]=f erfüllt.
Das lineare Gleichungssystem (2),(3) lässt sich leicht
nach u',v' auflösen (die Nennerdeterminante ist die
sog. Wronskideterminante), anschliessend können u und v durch Integration bestimmt werden.
Das wäre kurz gefasst die Theorie.
a) Leicht findest Du (Ansatz: y = elx):
y1=ex, y2=e-3x.
b) Man sieht unmittelbar:
y1=cos x , y2=sin x.
Mit dieser Anleitung solltest Du weiter kommen.
mfG Orion
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