| Autor |
Beitrag |
    
robi (lavaza)
Neues Mitglied
Benutzername: lavaza
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 23:07: | 
|
f(x)= 1/wrz(a^2+x^2)
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.}} |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 323
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 23:46: |
|
Hi,
f(x) = 1/sqrt(a^2 + x^2)
f(x) = 1/sqrt(a^2 * (1 + x^2/a^2))
f(x) = 1/(a*sqrt(1 + x^2/a^2))
INT 1/(a*sqrt(1 + x^2/a^2)) dx
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
=> subst. mit sinh(t) = x/a
Hinweis arsinh(x/a) ist eine ln-Fkt.
des Integral wird dann weiter mit partieller Integration behandelt;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
robi (lavaza)
Neues Mitglied
Benutzername: lavaza
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 11:48: |
|
Danke fleißiges Mainzelmännchen für deine schnelle Antwort, aber genau beim letzten Schritt mit "arsinh(x/a) ist eine ln-Fkt." liegt mein Problem. Kannst du mir da vieleicht nochmal einen Gedankensanstoß geben??? |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 325
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 12:41: |
|
Hi,
Deine Subst. lautet:
sinh(t) = x/a
allgemein gilt:
sinh(t) = (e^t - e^(-t))/2
cosh(t) = (e^t + e^(-t))/2
in unserem(deinem) Fall gilt:
2x/a = (e^t - e^(-t)) | * e^t
2x/a * e^t = e^(2t) - 1
e^(2t) - 2x/a * e^t - 1 = 0
e^t = x/a +/- sqrt( (x/a)^2 + 1 )
=>
t = ln( x/a + sqrt( (x/a)^2 + 1 ) )
(die neg. Lsg. fällt weg, weil e^t ist immer positiv)
=>
Achtung: verfalle nicht, hier f. x/a den Term sinh(t) rückzusubstituieren => t = t
dt/dx = 1/( x/a + sqrt( (x/a)^2 + 1 ) )
* ( 1/a - 1/( 2 * sqrt( (x/a)^2 + 1 ) )
=>
dt/dx = 1/( sinh(t) + sqrt( sinh^2(t) +
cosh^2(t) - sinh^2(t) ) )
* ( 1/a - 1/(2*cosh(t)) )
= 1/(sinh(t) + cosh(t)) * ( 1/a - 1/(2*cosh(t)) )
= e^(-t) * ( 1/a - 1/(2*cosh(t)) )
= 1/(a*e^t) - e^(-t)/(e^t + e^(-t))
= 1/(a*e^t) - 1/(e^(2t) + 1)
=>
dt/( 1/(a*e^t) - 1/(e^(2t) + 1) ) = dx
unser(dein) Integral lautet:
INT 1/(a*sqrt(1 + x^2/a^2)) dx
nach der subst.
INT 1/(a*sqrt(cosh^2(t) - sinh^2(t)
+ sinh^2(t)) dx
= INT 1/(a*cosh(t)) dx
= INT 1/(a*(e^t + e^(-t))) dx
dx von oben durch den Term ersetzen
und nach t integrieren => ausschließlich
ein Integral mit e^t Termen;
jetzt geht es weiter:
Weitere Subst.
s = e^t
ln(s) = t
=>
1/s * ds/dt = 1
=>
ds/dt = s
=>
dt = ds/s
Mit der weiteren Subst. erhältst Du einen
Term der nur gebrochen rational ist;
Tip: Partialbruchzerlegung;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
|
|
