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zwei Folgen, ein Grenzwert

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » zwei Folgen, ein Grenzwert « Zurück Vor »

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Andre (awott)
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Junior Mitglied
Benutzername: awott

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 22:53:   Beitrag drucken

Es seien {an}, {a'n} zwei konvergente Zahlenfolgen mit demselben Grenzwerta. Zeige, dass auch die geschachtelte Folge a1, a#1, a2, a'2,... gegen a konvergiert.

Ist mir ja schon klar, nur wie zeig ich das?
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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 549
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 06. Januar, 2003 - 02:46:   Beitrag drucken

Überlege Dir zunächst, was zu zeigen ist(Konvergenz der geschachtelten Folge --> welche Formel muß erfüllt sein?). Danach was bekannt ist (Die Konvergenz der beiden Teilfolgen --> wie stellt sich das als Formel da?)
Versuche das eine in das andere zu überführen. Mit der richtigen Idee ist es nicht sehr schwer.

Sorry, falls das zu allgemein ist. Hatte eben einen Komplette Lösung posten wollen und im entscheidenden Moment wohl nicht abgeschickt. Aufgrund der Uhrzeit verzichte ich erst einmal auf einen neue Komplettlösung.
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Ingo (ingo)
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Moderator
Benutzername: ingo

Nummer des Beitrags: 550
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Januar, 2003 - 01:59:   Beitrag drucken

Mit einiger Verspätung, nun endlich die vollständige Lösung:

Da (an) und (a'n) konvergent gegen a sind, gibt es zu festem e>0 natürlich Zahlen N1 und N2 , so daß gilt:
(1) |an-a|<e für n>N1
(2) |a'n-a|<e für n>N2

Wähle nun N=Maximum(N1,N2), so ist (1) und (2) für alle n>N erfüllt und somit gilt für die geschachtelte Folge (bn) die Bedingung
|bn-a|<e für n>2N q.e.d

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