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Extremwertaufgabe gleichschenkliges D...

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Janos Wawrauschek (janos)
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Neues Mitglied
Benutzername: janos

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 18:47:   Beitrag drucken

Hallo, habe folgende Aufg. zu lösen:
"Unter allen gleichschenkligen Dreiecken mit fester Schenkellänge l ist dasjenige zu bestimmen, das den max. Flächeninhalt hat."
Habe es mit LaGrange versucht, bin aber nicht richtig weiter gekommen, wer hat eine Lösung?
MfG Janos
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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 301
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 21:17:   Beitrag drucken

Hi,

das geht relativ einfach:
Basis 2x, Höhe y --> Fläche A = xy
Nebenbedingung: x² + y² = l² -> y² = l² - x²

A = x*sqrt(l² - x²) |quadrieren
f(x) = l²*x² - x^4
f '(x) = 2l²*x - 4*x³
f ''(x) = 2l² - 12x²
-------------------------
f '(x) = 0
2x*(l² - 2x²) = 0 (x > 0!)

x² = l²/2

x = l/sqrt(2) = l*sqrt(2)/2
-----------------------------

y² = l² - l²/2 = l²/2 --> y = l/sqrt(2) = x

Was zu erwarten war, das maximale Dreieck ist also ein halbes Quadrat mit der Fläche A = x² = l²/2!

Nun noch mit l/sqrt(2) in die 2. Ableitung:

f ''(l/sqrt(2)) = 2l² - 6l² = -4l² < 0, Maximum!

Gr
mYthos
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Janos Wawrauschek (janos)
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Neues Mitglied
Benutzername: janos

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 07. Januar, 2003 - 19:49:   Beitrag drucken

Danke dir!

Gruss Janos

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