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Quax (bruchpilot)
Neues Mitglied
Benutzername: bruchpilot
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 11:58: | 
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gegen was konvergiert...
... k-te wurzel aus k!
... k-te wurzel aus k
... k-te wurzel aus (2^k)/(k!)
... k-te wurzel aus |
Gustav Mahler (integralgott)
Neues Mitglied
Benutzername: integralgott
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 14:43: |
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Hallo bruchpilot!
Konvergenz bedeutet den Wert zu finden, der sich als Grenzwert für k gegen Unendlich ergibt. Ich beginne mit dem einfachsten:
kteW(k) = k^(1/k) = e^[(1/k)*ln(k)]
Es darf nun der limes in den Exponenten geschrieben werden:
lim{k->inf}[ln(k)/k] = "inf/inf"
In dieser Form darf man die l'Hospitalsche Regel anwenden, also Zähler und Nenner getrennt voneinander ableiten:
lim{k->inf}(1/k) = 0
Damit wird
lim{k->inf}[k^(1/k)] = e^0 = 1
Nun zu kteW(k!):
kteW(k!) = (k!)^(1/k) = k^(1/k)*(k-1)^(1/k)*(k-2)^(1/k)*...*3^(1/k)*2^(1/k )*1^(1/k)
Nach den Grenzwertsätzen kann nun der Grenzwert von jedem Faktor einzeln berechnet werden. Das Produkt der Teilgrenzwerte ist dann der gesamte. Es fällt auf, dass wir den ersten bereits berechnet haben:
lim{k->inf}[k^(1/k)] = 1
Alle anderen Faktoren sind in der Form (k-n)^(1/k) darstellbar, wobei n<k ist. Es wird wie oben:
(k-n)^(1/k) = e^[(1/k)*ln(k-n)]
Der Grenzwert kann wieder in den Exponenten geschrieben werden:
lim{k->inf}[ln(k-n)/k] = "inf/inf" => l'Hospital:
lim{k->inf}[1/(k-n)] = 0 , da n immer vernachlässigbar gegen inf. Daher:
lim{k->inf}{e^[(1/k)*ln(k-n)]} = e^0 = 1
also:
lim{k->inf}[(k!)^(1/k)] = 1*1*1*...*1*1*1 = 1
Und nun die kteW[(2^k)/(k!)]:
kteW[(2^k)/(k!)] = (2^k)^(1/k)/(k!)^(1/k) = 2/(k!)^(1/k)
Da wir bereits wissen, dass
lim{k->inf}[(k!)^(1/k)] = 1
wird
lim{k->inf}[2/(k!)^(1/k)] = 2/1 = 2
MfG, Integralgott
(Beitrag nachträglich am 05., Januar. 2003 von integralgott editiert) |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 429
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 16:01: |
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Quax,
Schreibe k1/k = 1+d(k).Dann ist für k >1 : d(k)>0
sowie (binomischer Satz)
k= (1+d(k))k>1+(1/2)k(k-1)d(k)2 ==>
0<d(k)<sqrt(2/k) ==>
d(k)®0 für k®¥
Ferner gilt
(k!)1/k ® ¥.
Das folgt aus der Stirling'schen Formel:
k! ~ sqrt(2p)*kk+1/2*e-k,
somit gilt
(1/k)*(k!)1/k ® 1/e für k®¥.
mfG Orion
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 430
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 16:08: |
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Uebrigens :
2k/k! ® 0, denn die entsprechende Reihe
für e2 konvergiert.
mfG Orion
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