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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 802
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 00:14: | 
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Sei f: V->W eine lineare Abbildung, und sei B eine Basis von V. Zeigen Sie: Dann gibt es eine Basis B' von W, so dass bei geeigneter Numerierung von B die Darstellungsmatrix folgende Gestalt hat:
| 1 | 0 | 0 | ... | 0 | | 0 | ... | | | | | 0 | ... | 1 | | | | | ... | | | 0 | | | | 0 | 0 | 0 | ... | ... | |
Mit den vielen Punkten wahrscheinlich schwer zu verstehen, hier mal ein Beispiel:
Soll halt so sein, dass außerhalb der Diagonalen nur Nullen stehen, auf der Diagonalen am Anfang Einsen, dann nur noch Nullen(Ich hoffe ich versteht, wie ich das meine).
Irgendwie komm ich mit der Aufgabe überhaupt nicht zurecht. Ich glaube ich hab die falsch verstanden, denn so würde dass doch heißen, dass man sich eine Basis von W sucht. Dann wird bei geeigneter Numerierung der erste Basisvektor von V auf den ersten von W abgebildet usw. Irgenwann muss dann aber doch nach der Matrix ein Basisvektor von V auf den Nullvektor abgebildet werden, aber das ist nicht immer der Fall.
Zum Beispiel die lineare Abbildung:
f: R³->R³
f(x,y,z)=(x-y+z,-6y+12z,-2x+2y-2z)
Also Basis von V wähle ich jetzt mal die Standardbasis e1, e2, e3.
Dann gilt:
f(e1)=(1,0,-2)
f(e2)=(-1,-6,2)
f(e3)=(1,12,-2)
Die drei Vektoren sind aber linear abhängig und dann bekomme ich irgendwie nie eine passende Matrix, egal wie ich die Basis von W wähle.
MfG
C. Schmidt |
Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 187
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 10:52: |
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Hi Christian,
ich habe mir ein paar Gedanken zu der Aufgabe gemacht und ich glaube, dass erstens alles was du schreibst richtig ist und zweitens in der Aufgabenstellung ein Fehler stecken muss.
Meine Überlegung in Kürze:
nicht injektive Abbildung
<=> Bei geeignetem B geht ein Basisvektor auf 0
<=> Bei geeignetem B Nullspalte
Aber nur Nullspalte bei geeigneter Wahl von B, nicht wie in der Aufgabe bei beliebigem B - siehe dein Beispiel.
Meiner Meinung nach müssen beide Basen geeignet gewählt werden, um die geforderte Form der Matrix zu erreichen. (Muss nicht stimmen - Ich bin kein Experte auf dem Gebiet der linearen Algebra.)
Grüße,
Kirk
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1326
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 13:38: |
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So wie Kirk sehe ich das auch. Man muss auch B geeignet wählen (und nicht nur geeignet nummerieren.)
Wähle in deinem Beispiel etwa
B = {(1,0,0), (0,1,0), (1,2,1)}
B' = {(1,0,-2), (-1,-6-2), (1,0,0)}
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 803
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 15:25: |
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Hi Kirk, hi Zaph
Vielen Dank schonml für eure Antworten. Habe auch nochmal in einem anderen Buch von mir nachgeschaut, da steht auch, dass man beide Basen wählen muss. Geht ja auch irgendwie nicht anders.
Die Aufgabe stammt übrigens aus dem Buch lineare Algebra von Beutelspacher.
Hier steht auch unter anderem noch:
Wir betrachten nicht allgemeine Darstellungsmatrizen bezüglich zweier Basen B und B', sondern nur Darstellungsmatrizen bezüglich einer einzigen Basis B. Denn wenn man eine gegebene Basis B umsortieren und die Basis B' frei wählen kann, so kann man immer erreichen, dass die Darstellungmatrix die folgende besonders einfache Form hat(siehe Übungsaufgabe 1)
Jetzt kommt halt wieder ein Bild von der Matrix, die ich auch oben schon angegeben habe und Übungsaufgabe 1 ist halt gerade die von oben. Ist dann wohl wirklich ein Fehler im Buch, weil hier steht ja (meiner Meinung nach) eindeutig, dass B gegeben ist.
Hab aber trotzdem nochmal eine Frage zur Diagonalisierbarkeit. Angenommen man hat die lineare Abbildung f: V->W
Jetzt muss es doch nicht unbedingt sein, dass die Darstellungsmatrix quadratisch ist. Was macht man dann??
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1329
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 17:09: |
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Dann irrt Herr Beutelspacher hier wohl. Kannst ihm ja mal eine Mail schicken: christoph.beutelspacher@gmx.de
Es sei n = dim V, m = dim W und k = dim Bild(f). Dann ist k <= n,m und es gibt Basen B, B' von V bzw. W, sodass die Matrix von der Form
(xi,j)i=1...n, j=1...m
ist mit
xi,j = 1, falls i = j und 1 <= i,j <= k,
xi,j = 0, sonst.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 807
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 17:24: |
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Hi Zaph
Vielen Dank für deine Antwort. Das hab ich jetzt soweit verstanden.
Vielleicht schreib ich Herrn Beutelspacher mal eine Mail. Hab auch glaub ich noch einen Fehler gefunden. Hier mal die Aufgabe:
Sei f eine lineare Abbildung des Vektorraums C^2 in sich. Zeigen sie: Ist f^2=0 (Nullabbildung), so ist f=0 oder f hat eine Darstellungsmatrix
Nimmt man aber z.B. die Darstellungsmatrix
so bekommt man auch die Nullabbildung.
f soll hier doch sicher eine Abbildung von R^2 in R^2 sein.
MfG
C. Schmidt
ps: Heißt der nicht Albrecht Beutelspacher?? |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1331
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 17:26: |
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Sorry:
albrecht.beutelspacher@math.uni-giessen.de
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1332
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 17:35: |
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Bei der anderen Aufgabe behauptet A. B., dass es (bei geeigneter Wahl der Basis) eine derartige Darstellungsmatrix gibt, und nicht, dass jede Darstellungsmatrix so aussieht.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 844
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 15:27: |
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Falls es noch wen interessieren sollte:
Ich habe vor ein paar Tagen eine Mail an Herrn Beutelspacher geschickt und es handelte sich tatsächlich um einen Fehler.
MfG
C. Schmidt |
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