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Nadine (Hope)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 13:23: | 
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Hilfe Wie beiweise ich dass die fogende Reihe konvergiert?: 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +1/25+...
Hoffentlich könntihr mir helfen. Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 14:14: |
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Hi Nadine ,
Zur gegebenen Reihe lässt sich leicht
eine so genannte Majorante aufstellen.
Man nennt eine Reihe mit positiven Gliedern.
deren Glieder wenigstens von einer Stelle an
grösser sind als die gleichstelligen Glieder einer
andern, ebenso strukturierten Reihe eine
Majorante der letzteren.
Es gilt der Satz:
Eine Reihe mit positiven Gliedern ist konvergent,
wenn sich zu ihr eine konvergente Majorante finden
lässt.
Als Majorante wählen wir die Reihe:
1 + 1 / [2 * 1] + 1 / [3 * 2] + 1 / [ 4 * 3 ] + ...
Das n-te Glied un für n > 1 dieser Reihe lautet :
un = 1 / [ n * (n-1) ] ; es ist für n > 1
grösser als das allgemeine Glied an der gegebenen Reihe
un > an = 1 / n ^ 2 ; n = 2 , 3 , ...
Die Reihe der un ist aber konvergent , Summe 2 ,
woraus die Konvergenz der gegebenen Reihe folgt.
Nachtrag
Um die Konvergenz der Reihe mit dem allgemeinen
Glied un nachzuweisen, berechnet man die n-te
Teilsumme sn dieser Reihe.
Es gilt
sn = 1+1/[2*1]+........+1/[n*(n-1)] =
=1+{1/1-1/2]+{1/2 - 1/3 } + ... + {1/(n-1) - 1 / n }:
netterweise heben sich Zwischenglieder weg; es bleibt
sn = 1 + 1/1 - 1/n = 2 - 1 / n
Der Grenzwert der n-ten Teilsumme sn der u-Reihe
für n gegen unendlich ist 2 ; dies ist die Summe der
Majorante .
Wir können schliessen
Die Summe der gegebenen Reihe ist nicht grösser als 2
Ihr exakter Wert ist bekannt; nach ihr wird in der Aufgabe
jedoch nicht gefragt.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Nadine (Hope)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 13:20: |
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Danke NAdine |
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