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Beitrag |
    
Karolin Timke (karotim)
Neues Mitglied
Benutzername: karotim
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 21:58: | 
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Hallo, wer kann mir bei folgendem Beweis helfen?
Sind a und b teilerfremde natürliche Zahlen a>b, a oder b gerade und x:=2ab, y:=a^2-b^2, z:=a^2+b^2, so gilt ggT(x,y)=1 und x^2+y^2=z^2.
Danke |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 801
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Januar, 2003 - 22:36: |
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Hi Karolin
Vielleicht so:
Angenommen
a=p1*p2*...*pn
b=q1*...qm
(Primfaktorzerlegung)
Dann ist x=2ab mod einem der oben angegebenen Primfaktoren 0. (Der Primfaktor 2 ist auch enthalten, weil eine der Zahlen gerade ist)
Ist das so, dann gilt:
Ist p ein Primfaktor von a:
a^2-b^2 mod p
=a^2 mod p -b^2 mod p
=-b^2 mod p
Das ist auf keinen Fall 0, sonst wären a und b nicht teilerfremd. Also teilt p x, aber nicht y.
Analog kannst du das machen, wenn p ein Primfaktor von b ist.
Insgesamt sieht man ja dann, dass x und y teilerfremd sind, d.h. ggT(x,y)=1.
Die andere Behauptung ergibt sich durch einsetzen:
x^2+y^2=(2ab)^2+(a^2-b^2)
=4a^2*b^2+a^2-2*a^2*b^2+b^2
=a^2+2*a^2*b^2+b^2
=(a^2+b^2)^2=z^2
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1327
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 14:37: |
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Noch einmal ggT(x,y) = 1. (@Christian: Es reicht erst einmal nicht, nur die Teiler von a und b zu betrachten!)
Angenommen, ggT(x,y) = d > 1. Dann gibt es eine Primzahl p, die x und y teilt.
p kann nicht 2 sein, da y = a² - b² auf jeden Fall ungerade ist (denn genau eine der beiden Zahlen a und b ist nach Voraussetzung gerade).
Da p ein Teiler von x = 2ab und nicht 2 ist, muss p ein Teiler von a oder b sein.
(1) Wenn p ein Teiler von a ist, dann ist p wegen b² = a² - y auch ein Teiler von b², und somit von b. Dies widerspricht ggT(a,b) = 1.
(2) Ebenso kann p kein Teiler von b sein. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 804
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 15:33: |
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Hi Zaph
(@Christian: Es reicht erst einmal nicht, nur die Teiler von a und b zu betrachten!)
Warum nicht?
Ich habe doch bewiesen, dass a keinen Primfaktor mit a^2-b^2 gemeinsam hat und b auch nicht. Also hat y=a^2-b^2 und a*b keinen gemeinsamen Teiler. Die 2 bei x=2*a*b spielt in meinem Beweis doch ohnehin keine Rolle, weil nach Voraussetzung eine der beiden Zahlen a und b gerade ist, also den Primfaktor 2 enthält, oder nicht??
MfG
C. Schmidt |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1328
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Januar, 2003 - 16:37: |
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Hi Christian, im Prinzip hast du Recht. Deine Argumentation ist aber etwas wirr, und ich bin da immer etwas pingelig.
Gesagt hast du (sinngemäß): Wenn p ein Teiler von a oder von b ist, dann teilt p die Zahl x aber nicht y. Du hättest wenigstens erwähnen sollen, dass jeder Primteiler von x bereits ein Teiler von a oder von b ist.
Gruß
Z. |
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