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Green17y (green17y)
Junior Mitglied
Benutzername: green17y
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Januar, 2003 - 21:33: | 
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Hallo!
Wie kann man folgende drei Aussagen beweisen?
f,g: X->Y, a € X
1. Ist f stetig in a, dann ist auch µ*f stetig
in a.
2. Sind f und g stetig in a, dann sind auch f+g und f*g stetig in a.
3. Sind f und g stetig in a, und ist f(a) nicht 0, dann ist auch f/g stetig in a.
Wenn jemadn eine Idee hätte und antwortete, VIELEN DANK!
Green |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 426
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. Januar, 2003 - 08:41: |
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Green,
Anleitung zum Beweis.Gehe zurück auf die Definition:
f stetig in a :<==> zu jedem e>0 existiert ein
d>0 derart, dass |f(x)-f(a)|<e,für alle
x€X mit |x-a|<d.
1.|m*f(x)-m*f(a)|=|m|*|f(x)-f(a)|
Wenn m=0,so ist nichts mehr zu beweisen,
andernfalls leistet d:=e/|m|
das Verlangte.
2.Beachte,dass nach der Dreiecksungleichung
|f(x)+g(x)-(f(a)+g(a)|£|f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)|,
|f(x)g(x)-f(a)g(a)| £
|f(x)-f(a)|*|g(x)|+|f(a)|*|g(x)-g(a)|,
sowie die Tatsache,dass g beschränkt ist : |g(x)| < C
für alle x€X.
3. Wegen 2. genügt es, die Beh. für f(x)=1 zu zeigen:
|1/g(x)-1/g(a)| = |g(x)-g(a)|/|g(x)*g(a)|.
Beachte nun,dass |g(a)|/2 > 0 ist, daher gibt es ein
d1>0 derart, dass
|g(x)-g(a)| < |g(a)|/2 ==> |g(x)|>|g(a)|/2
für |x-a| < d1
Für diese x gilt also
|1/g(x)-1/g(a)| < C*|g(x)-g(a)|, C = 2/|g(a)|2.
,
mfG Orion
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