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Konvergierende Folge

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lehramt Mathematik » Konvergierende Folge « Zurück Vor »

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Nadine (Hope)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 10:30:   Beitrag drucken

Hallo ich habe eine Aufgebe die ich nicht ganz lösen kann:
(Alle Zahlen in R positiv) a1 sei ein Schätzwert für Wurzel x. Man bilde x/a1 und nehme als neuen Schätzwert a2= a1+x/a1:2. Die Wiederholung dieses Verfahrens führt zu einer Folge a1,a2,a3,..., von der zu zeigen ist, dass sie nach Wurzel x konvergiert. Führen sie diesees Verfahren für x=10 und a1=3 auf maximal 4 Dezimalen genau aus.
Ich habe dieses Verfahren verstanden, weiss aber nicht wie ich zeigen soll,dass die Folge a1+a2+a3...nach Wurzel x konvergiert. Wäre nett, wenn ihr mir helfen Könnt Danke Nadine
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 18:06:   Beitrag drucken

Nadine :

Die Folge (a(n)) genŸgt der Rekursion

a(n+1) = (1/2)*[a(n) + x/a(n)]

Rechts steht das arithmetische Mittel von a(n)
und x/a(n), und dieses ist >= dem geometrischen
Mittel w:= sqrt(x) dieser Zahlen, also

a(n) >= w fŸr n >= 2.

Daher gilt

a(n) = w + d(n) mit d(n) >= 0 fŸr n >= 2.

Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so
folgt nach kleiner Rechnung (prŸfe nach !)

d(n+1) = (1/2)*d(n)^2/[w + d(n)] =< (1/2)*d(n).

Daher ist (Induktion !)

0 =< d(n) =< (1/2)^(n-2)*d(2) ==> d(n)->0

==> a(n) -> w fŸr n->oo.

mfg

Hans
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Nadine (Hope)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 13:17:   Beitrag drucken

Vielen Dank Hast mir enorm weitergeholfen Danke Nadine

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