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Michael (michael0504)
Mitglied
Benutzername: michael0504
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Dezember, 2002 - 13:54: | 
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Gegeben seien die Differentialgleichungen
a) y’ = (1+x²)y²
b) (2(x²+xy)+2)dx 9 (x²-siny)dy = 0
c) y’’ + 5y’ + 6y = sinx
Klassifizieren Sie diese und bestimmen Sie für zwei von ihnen die allgemeine Lösung. Beschreiben Sie die Vorgehensweise bei (z. B.) Mathematica und nennen Sie ein Näherungsverfahren. |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 420
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Dezember, 2002 - 17:02: |
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Michael,
Hinweis:
a) Separierbare Dgl.:
y'/y2=1+x2 <==> -1/y = x+x3/3+C
b) Schreibfehler ?
c)Inhomogene lineare Dgl. mit konstanten
Koeffizienten. Fundamentalsystem für die
homogene Dgl.:
exp(-2x) , exp(-3x).
Ermittlung einer Partikulären Lösung der
inhomogenen Dgl.: Schreibe y = Im(z) mit
z'' + 5 z' +6 z = exp(ix)
Ansatz: z = C*exp(ix) ==> C=(1-i)/10==>
y = (sin x - cos x)/10 : Rechne nach !
mfG Orion
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heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Dezember, 2002 - 18:09: |
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Bei b) dürfte ein Tippfehler ("9" statt "+") vorliegen. Denn
(2(x²+xy)+2)dx + (x²-siny)dy = 0
ist eine exakte Differentialgleichung, d.h. ein vollständiges Differential
Fxdx + Fydy = 0 , (tiefgestellte Variable sollen partielle Ableitung bedeuten)
Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt:
Fxy = (2x²+2xy+2)y = 2x
Fyx = (x²-siny)x = 2x
F = ò 2x²+2xy+2 dx = 2x³/3 + x²y + 2x + f(y)
Fy = x² + f '(y) = x² - siny , f(y) = cosy
implizite Lösung: 2x³/3 + x²y + 2x + cosy = C
Gruß,
Gjallar
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