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Bunny (Bunny)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 20:20: | 
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Hallo.Brauche ganz dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.
Es sei eine Menge.
a,Eine Relation R ist Teilmenge von(Verknüpfung von A und A) nennt man eine Äquinalenzrelation,wenn die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:
1,die Relation ~R(R tiefergestellt) ist transitiv.
2,Die Relation ~R(R tiefergestellt) ist symmetrisch,d.h.,dass für alle Elemente a,b Element von A gilt:Wenn a~R(R tiefergestellt)b gilt,dann gilt auch b~R(R tiefergestellt)a.
3,Die Relation ~R(R tiefergestellt) ist reflexiv,d.h.,dass für alle Elemente a Element von A gilt:a~R(R tiefergestellt)a.
Eine Teilmenge C ist Teilmenge von A heißt eine Äquivalenzklasse,wenn es ein Element x Element von Agibt,so dass
c=(y Element von A\y~R(R tiefergestellt)x)
ist.Man beschreibe die Menge Q als Menge der Äquivalenzklassen einer geeigneten Äquivalenzrelation auf (Z verknüpft mit N+(nur positive Zahlen)).
b,Es sei S Teilmenge von(Verknüpfung von A und A) eine beliebige Menge.Man zeige,dass es genau eine kleinste Äquivalenzrelation R ist Teilmenge von (Verknüpfung von A und A) gibt,die S enthält.Dabei bedeutet kleinste:alle Äquivalenzrelationen R' ist Teilmenge von(Verknüpfung von A und A),die S enthalten,enthalten bereits R.
Hinweis:x~R(R tiefergestellt)y sollte genau dann gelten, wenn
1,wenn x=y ist,oder
2,wenn es Elemente x0(O tiefergestellt),x1(1 tiefergestellt),...,xn(n tiefergestellt) Element von A gibt,so dass x0(0 tiefergestellt)=x und xn(n tiefergestellt)=y ist und für alle Indices i entweder xi(i tiefergestellt)~R(R tiefergestellt)x(i+1)((i+1) tiefergestellt) oder x(x+1)((x+1) tiefergestellt)~R(R tiefergestellt)xi(i tiefergestellt) gilt.
c,Wenn S und R wie in Aufgabe b, definiert sind,dann kann man R auch wie folgt konstruieren:Man definiere die Abbildung T Verknüpfung von A und A) abgebildet auf (Verknüpfung von A und A) durch T(x,y):=(y,x) und die Menge
delta(so ein Dreieck)A(A tiefergestellt)=((a,a) Element von(Verknüpfung von A und A)\a Element von A)
Wenn man S':=S vereinigt T(S) vereinigt delta A(A tiefergestellt) setzt,dann ist
R=Vereinigung(n Element von N) von (Skalarprodukt von S...S)(nx) |
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