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Beweis für ungleichung

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nikki
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 16:17:   Beitrag drucken

hi there

kann mir jemand bei folgendem beweis helfen?

sei a>0

dann gilt für alle n element der natürlichen Zahlen:

a + a² + a³ + ... + a^2n <= n(a^(2n+1) + 1)

für hilfe wäre ich echt dankbar :)
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 22:29:   Beitrag drucken

Hi,

Es ist a>0.
Sei k = 1,2,...,n.
Es gilt:
(1-a^(2n+1-k))*(1-a^k) >= 0 ; (*)
[ Wird sofort klar durch Fallunterscheidung, a < 1, a=1, a>1 ]
durch ausmultiplizieren von (*) ergibt sich:
1+a^(2n+1) >= a^k + a^(2n+1-k);
Wir setzen jetzt k = 1,2,...,n ein und erhalten dadurch n derartige Ungleichungen; diese werden aufsummiert, womit sich ergibt:
n + n*a^(2n+1) >= a + a^2 + a^3 + ... a^2n;
:-)
MfG

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