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Rekursiv definierte Folgen!

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Arithmetische und algebraische Grundlagen » Rekursiv definierte Folgen! « Zurück Vor »

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Florian
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 13:03:   Beitrag drucken

Komme leider mit folgenden Aufgaben nicht weiter:
die rekursiv definierten Folgen, sollten als geschlossene Ausdrücke angegeben werden:

An+1 := (10-2*An)/3 ; n natürliche Zahl + 0
A1 := 3

und:

An+1 := 1/(n+1)! - An/(n+1) ; n nat. Zahl
A1 := 1

thank´s im Voraus
Florian
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matroid
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 15:31:   Beitrag drucken

Erste Folge:
a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n)

Allgemeiner Ansatz: b(n) = c*(-2/3)<sup>n</sup> + d

Bestimme die Koeffizienten von b(n) so, daß b(1)=a(1) und b(2)=a(2).

Aus a(1) = 3 => 3 = -2/3*c+d
Aus a(2) = 4/3 => 4/3 = 4/9*c + d
=> 5/3 = -10/9 *c
=> c = -45/30 = -3/2
und aus 3 = -2/3*(-3/2)+d
folgt d=2

Also b(n) = -3/2 * (2/3)<sup>n</sup> + 2

Zeige, daß dieses b(n) die Rekursion für a(n) erfüllt:
Es ist wegen der Rekursion:
a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n)
= 10/3 - 2/3 * ((-3/2)*(-2/3)<sup>n</sup> + 2)
= 10/3 -2/3*2 - 3/2 * (-2/3)<sup>n+1</sup>
= 2 - 3/2 * (-2/3)<sup>n+1</sup>
= b(n+1)
d.h. die Folge b(n) stimmt für alle n mit a(n) überein. Darum ist b(n) = a(n).

Gruß
Matroid
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matroid
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 15:37:   Beitrag drucken

[Nochmal mit den richtigen Formatierungscodes und berichtigtem Vorzeichen]

Erste Folge:
a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n)

Allgemeiner Ansatz: b(n) = c*(-2/3)n + d

Bestimme die Koeffizienten von b(n) so, daß b(1)=a(1) und b(2)=a(2).

Aus a(1) = 3 => 3 = -2/3*c+d
Aus a(2) = 4/3 => 4/3 = 4/9*c + d
=> 5/3 = -10/9 *c
=> c = -45/30 = -3/2
und aus 3 = -2/3*(-3/2)+d
folgt d=2

Also b(n) = -3/2 * (-2/3)n + 2

Zeige, daß dieses b(n) die Rekursion für a(n) erfüllt (Induktionsbeweis):
a(1)=b(1) nach Konstruktion von b(n).
Ind.voraussetzung b(n)=a(n). Zeige b(n+1)=a(n+1):
Es ist wegen der Rekursion:
a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n) = 10/3 - 2/3*b(n)
= 10/3 - 2/3 * ((-3/2)*(-2/3)n + 2)
= 10/3 -2/3*2 - 3/2 * (-2/3)n+1
= 2 - 3/2 * (-2/3)n+1
= b(n+1)
d.h. die Folge b(n) stimmt für alle n mit a(n) überein. Darum ist b(n) = a(n).

Gruß
Matroid
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 16:53:   Beitrag drucken

Hi Florian,

Lösung der ersten Aufgabe

Wir führen eine Transformation auf der Zahlenachse aus;
wir setzen
Aj = 2 + aj für j = 1,2,... , somit auch aj = Aj - 2

Aus der gegebenen Folge entsteht eine neue Folge,
die Folge der aj, die etwas durchsichtiger ist
Wir schliessen:
Aus A1 = 3 folgt:
2 + a1 = 3 ,
also a1 = 1
°°°°°°°°°°°
Aus A(n+1) = [10 - 2*An ] / 3 folgt
2 + a(n+1) = [10 - 2 * (2 + an )] / 3 , also :
a(n+1) = - 2/3 * an
"""""""""""""""""""°
Dies ist ein einfacheres Rekursionsgesetz.
Der Beginn der Folge der an lautet somit:
1 , - 2/3 , 4/9 , - 8/27 ,......
in geschlossener Form:
an = (-1)^(n-1) * [2/3] ^(n-1), n = 1,2....
Rücktransformation:
An = 2 + an = 2 + (-1) ^(n-1) * [2/3]^(n-1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Cooksen
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 17:14:   Beitrag drucken

Hallo Florian, hallo Matroid!

Für die erste Folge habe ich dasselbe Ergebnis wie Matroid.

Für die zweite Folge:
an = (1/n!)*(1/2)*[1 - (-1)n]

Beweis per Ind.
n = 1: klar
n => n+1:
an+1 = 1/(n+1)! - an/(n+1) gemäß Rekursion
= 1/(n+1)! - (1/n!)*(1/2)*[1 - (-1)n]/(n+1) nach Ind.-Annahme
= 1/(n+1)!*{1 - (1/2)*[1 - (-1)n]}
= 1/(n+1)!*(1/2)*{2 - 1 + (-1)n]}
= 1/(n+1)!*(1/2)*[1 - (-1)n+1] q.e.d.

Die Folge alterniert immer zwischen 1/n! für ungerade n und 0 für gerade n.

Gruß Cooksen
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Florian
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 20:49:   Beitrag drucken

hallo Leute,

vielen Dank für Eure Mühe.
Mit Euren Lösungsvorschlägen habt Ihr mir um einiges weitergeholfen!

mfG
Florian

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