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Florian
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 13:03: |
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Komme leider mit folgenden Aufgaben nicht weiter: die rekursiv definierten Folgen, sollten als geschlossene Ausdrücke angegeben werden: An+1 := (10-2*An)/3 ; n natürliche Zahl + 0 A1 := 3 und: An+1 := 1/(n+1)! - An/(n+1) ; n nat. Zahl A1 := 1 thank´s im Voraus Florian |
matroid
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 15:31: |
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Erste Folge: a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n) Allgemeiner Ansatz: b(n) = c*(-2/3)<sup>n</sup> + d Bestimme die Koeffizienten von b(n) so, daß b(1)=a(1) und b(2)=a(2). Aus a(1) = 3 => 3 = -2/3*c+d Aus a(2) = 4/3 => 4/3 = 4/9*c + d => 5/3 = -10/9 *c => c = -45/30 = -3/2 und aus 3 = -2/3*(-3/2)+d folgt d=2 Also b(n) = -3/2 * (2/3)<sup>n</sup> + 2 Zeige, daß dieses b(n) die Rekursion für a(n) erfüllt: Es ist wegen der Rekursion: a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n) = 10/3 - 2/3 * ((-3/2)*(-2/3)<sup>n</sup> + 2) = 10/3 -2/3*2 - 3/2 * (-2/3)<sup>n+1</sup> = 2 - 3/2 * (-2/3)<sup>n+1</sup> = b(n+1) d.h. die Folge b(n) stimmt für alle n mit a(n) überein. Darum ist b(n) = a(n). Gruß Matroid |
matroid
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 15:37: |
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[Nochmal mit den richtigen Formatierungscodes und berichtigtem Vorzeichen] Erste Folge: a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n) Allgemeiner Ansatz: b(n) = c*(-2/3)n + d Bestimme die Koeffizienten von b(n) so, daß b(1)=a(1) und b(2)=a(2). Aus a(1) = 3 => 3 = -2/3*c+d Aus a(2) = 4/3 => 4/3 = 4/9*c + d => 5/3 = -10/9 *c => c = -45/30 = -3/2 und aus 3 = -2/3*(-3/2)+d folgt d=2 Also b(n) = -3/2 * (-2/3)n + 2 Zeige, daß dieses b(n) die Rekursion für a(n) erfüllt (Induktionsbeweis): a(1)=b(1) nach Konstruktion von b(n). Ind.voraussetzung b(n)=a(n). Zeige b(n+1)=a(n+1): Es ist wegen der Rekursion: a(n+1) = 10/3 - 2/3*a(n) = 10/3 - 2/3*b(n) = 10/3 - 2/3 * ((-3/2)*(-2/3)n + 2) = 10/3 -2/3*2 - 3/2 * (-2/3)n+1 = 2 - 3/2 * (-2/3)n+1 = b(n+1) d.h. die Folge b(n) stimmt für alle n mit a(n) überein. Darum ist b(n) = a(n). Gruß Matroid |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 16:53: |
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Hi Florian, Lösung der ersten Aufgabe Wir führen eine Transformation auf der Zahlenachse aus; wir setzen Aj = 2 + aj für j = 1,2,... , somit auch aj = Aj - 2 Aus der gegebenen Folge entsteht eine neue Folge, die Folge der aj, die etwas durchsichtiger ist Wir schliessen: Aus A1 = 3 folgt: 2 + a1 = 3 , also a1 = 1 °°°°°°°°°°° Aus A(n+1) = [10 - 2*An ] / 3 folgt 2 + a(n+1) = [10 - 2 * (2 + an )] / 3 , also : a(n+1) = - 2/3 * an """""""""""""""""""° Dies ist ein einfacheres Rekursionsgesetz. Der Beginn der Folge der an lautet somit: 1 , - 2/3 , 4/9 , - 8/27 ,...... in geschlossener Form: an = (-1)^(n-1) * [2/3] ^(n-1), n = 1,2.... Rücktransformation: An = 2 + an = 2 + (-1) ^(n-1) * [2/3]^(n-1) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Cooksen
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 17:14: |
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Hallo Florian, hallo Matroid! Für die erste Folge habe ich dasselbe Ergebnis wie Matroid. Für die zweite Folge: an = (1/n!)*(1/2)*[1 - (-1)n] Beweis per Ind. n = 1: klar n => n+1: an+1 = 1/(n+1)! - an/(n+1) gemäß Rekursion = 1/(n+1)! - (1/n!)*(1/2)*[1 - (-1)n]/(n+1) nach Ind.-Annahme = 1/(n+1)!*{1 - (1/2)*[1 - (-1)n]} = 1/(n+1)!*(1/2)*{2 - 1 + (-1)n]} = 1/(n+1)!*(1/2)*[1 - (-1)n+1] q.e.d. Die Folge alterniert immer zwischen 1/n! für ungerade n und 0 für gerade n. Gruß Cooksen |
Florian
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 20:49: |
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hallo Leute, vielen Dank für Eure Mühe. Mit Euren Lösungsvorschlägen habt Ihr mir um einiges weitergeholfen! mfG Florian |
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