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Beitrag |
    
Eva
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 18:22: | 
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Zeigen sie, daß folgende Reihen konvergieren:
a) 1-1/2+1/3-1/4+....
b) 1-1/3+1/5-1/7+...
c) 1/1(hoch2)+1/2(hoch2)+1/3(hoch3)+.... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 08:40: |
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Hi Eva,
Lösung der dritten Teilaufgabe.
Es lässt sich leicht eine so genannte Majorante
der gegebenen Reihe aufstellen.
Als Majorante wählen wir die Reihe:
1 + 1 / [2 * 1] + 1 / [3 * 2] + 1 / [ 4 * 3 ] + ...
Das n-te Glied un für n > 1 dieser Reihe lautet :
un = 1 / [ n * (n-1) ] ; es ist für n > 1
grösser als das allgemeine Glied an der gegebenen Reihe
un > an = 1 / n ^ 2 ; n = 2 , 3 , ...
Die Reihe der un ist aber konvergent , Summe 2 ,
woraus die Konvergenz der gegebenen Reihe folgt.
Um die Konvergenz der Reihe mit dem allgemeinen
Glied un nachzuweisen, berechnet man die n-te
Teilsumme sn dieser Reihe.
Es gilt
sn = 1+1/[2*1]+........+1/[n*(n-1)] =
=1+{1/1-1/2]+{1/2 - 1/3 } + ... + {1/(n-1) - 1 / n }:
erfreulicherweise heben sich Zwischenglieder weg; es bleibt
sn = 1 + 1/1 - 1/n = 2 - 1 / n
Der Grenzwert der n-ten Teilsumme sn der u-Reihe
für n gegen unendlich ist 2 ; dies ist die Summe der
Majorante .
Wir können schliessen
Die Summe der gegebenen Reihe ist nicht grösser als 2;
Fachleute kennen deren numerischen Wert.
Danach ist bei Deiner Aufgabe jedoch nicht gefragt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 13:00: |
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Hi Eva,
Bei den beiden ersten Reihen handelt es sich
um so genannte alternierende Reihen, bei denen
positive und negative Glieder miteinander abwechseln.
Ueber solche Reihen gibt es einen bemerkenswerten
Konvergenzsatz, der in Vorlesungen über unendliche
Reihen in der Regel hergeleitet wird.
Auf ausdrücklichen Wunsch kann ich die Herleitung
hier nachvollziehen
Der Satz lautet
Wenn in einer alternierenden Reihe die Absolutbeträge
ständig abnehmen und den Grenzwert null haben,
so ist die Reihe konvergent.
Für die gegebenen Reihen der Teilaufgaben 1) und 2)
sind diese Voraussetzungen erfüllt; damit ist ihre
Konvergenz gesichert.
Die zweite Reihe ist übrigens die Leibnizsche Reihe;
ihre Summe ist ¼ * Pi.
Die Summe der ersten Reihe ist ln 2.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
djacky (djacky)
Moderator
Benutzername: djacky
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Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 19:52: |
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Da hätte ich mal eine Frage :
1 ist ja die alternierende harmonische Reihe
Diese konvergiert nicht absolut.
Kann man dann überhaupt einen Grenzwert angeben? |
djacky (djacky)
Moderator
Benutzername: djacky
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Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 19:57: |
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O.K. die Frage klingt erstmal ziemlich dämlich, da ja eigentlich jede kgt. Reihe einen Grenzwert haben sollte.
Aber es gibt da einen Satz von Riemann, der beagt, dass wenn man bei nicht absolut kgt. Reihen die Summanden auf eine bestimmte Art und Weise vertauscht, als Grenzwert jede beliebige Zahl erreicht werden kann.
Oder lieg ich da total falsch? |
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