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Primring

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Micha
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 14:14:   Beitrag drucken

Ich finde leider nichts im Internet, was genau ein Primring ist.
Irgendwie der Durschschnitt über alle Unterringe eines Ringes R. Aber wie genau sieht er aus, welche Elemente enthält er (nur 0e 1e, oder alle Primzahlen?). Und ist er vielleicht kommutativ oder isomorph zu einem bekannten Ring wie die ganzen Zahlen? Fragen über Fragen... *grins*
Wie kann ich mir das vorstellen? Danke schonmal im Vorraus!
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Lars Brünjes (Lbrunjes)
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Veröffentlicht am Freitag, den 09. November, 2001 - 09:07:   Beitrag drucken

Hallo, Micha!

Der Primring (eines Ringes R mit 1) ist der kleinste Teilring von R (wieder mit 1), d.h. er besteht aus allen ganzzahligen Vielfachen von 1 in R.

Ist f:Z->R der kanonische Ringhomomorphismus (der 1 auf 1 schickt und dadurch eindeutig festgelegt ist), so ist der Primring von R das Bild von f, d.h. er ist nach dem Homomorphiesatz isomorph zu Z/ker(f).

Das zeigt: Der Primring ist immer kommutativ, und er ist immer von der Form Z/(a) für a eine nicht-negative natürliche Zahl.

Ist R ein INTEGRITÄTSRING (oder sogar ein Körper), so muß obiges a null oder eine Primzahl sein, d.h. in diesem Fall ist der Primring entweder isomorph zu Z (in diesem Fall sagt man, R habe Charakteristik 0) oder zu Z/p für eine Primzahl p (in dem Fall sagt man, R habe Charakteristik p).

Ich hoffe, Deine Frage(n) ist (sind) damit beantwortet!

Viele Grüße -
Lars

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