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Beitrag |
    
McMike
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 20:55: | 
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A: sup{a-b: aEA, bEB}=supA-infB
B: inf {a+b: aEA, bEB}=infA+infB
Wobei A,B nicht leere Teilmengen von R sind!
Das ist ja logisch und kann überhaupt nicht anderst sein, aber wie soll ich das beweisen?????
Könnte mir das jemand zeigen? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 07:06: |
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McMike :
Man muss auf die Definition zurŸckgehen. Die
Aussage
sup A = s
ist gleichbedeutend mit
fŸr alle a in A ist a =< s & zu jedem eps>0 gibt
es ein a in A mit a > s - eps.
Entsprechend besagt die Def. von
inf B = t :
fŸr alle b in B ist b >= t & zu jedem eps>0 gibt es ein b in B mit b < t + eps.
Um nun die erste Gleichung zu beweisen, zeigen wir
1. FŸr alle a in A und b in B ist a - b =< s - t
und
2. Zu jedem eps>0 gibt es a in A und b in B mit
a - b > (s - t) - eps.
Ad 1.: FŸr alle a in A, b in B ist a =< s und
b >= t ==> a - b =< s - t.
Ad 2.: Sei eps > 0 gegeben. Es gibt a in A und
b in B sodass a > s - eps/2 , b < t + eps/2 ==>
a - b > (s - t) - eps.
Nach dieser Anleitung wirst du die 2. Gleichung
leicht selbst beweisen koennen.
Merke: In der Analysis ist (fast) nichts selbst-
verstaendlich (oder "logisch", wie du das nennst).
mfg
Hans |
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