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Charity
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 12:56: | 
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Hallo!
Ich hab hier drei Aufgaben, die ich einfach nicht verstehe. Wir sollen die Formeln in einfachen,geschlossenen Ausdrücken angeben und beweisen.
a) Summe von j=0 bis n für j mal(n über j)
b) Summe von j=o bis n für (n über j) quadriert
c) Summe von j=3 bis n für n über j mal (5 hoch j)
Vielen Dank! Ach ja bin übrigens für jede Ausführung dankbar, möcht es wirklich gern verstehen.. Hab irgendwo nen Denkfehler drin.. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 15:03: |
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Hi Charity,
Zur Teilaufgabe a)
Das Resultat lautet:
Summe S = n * 2 ^ (n-1)
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Für eine direkte Herleitung benötigen wir die bekannte
Summenformel für die sukzessiven Binomialkoeffizienten:
b (n , k) = n ! [ k ! * (n - k ) ! ], genannt "n tief k":
sum [b(n,k) ] = 2 ^ n
Dabei läuft der Summationsindex k von 0 bis n.
Bei der vorgelegten Summe S kann n vorgeklammert
werden; in der Klammer steht genau die Summe
der Binomialkoeffizienten
b [ (n -1), j ] , j = 0.., n-1, also:
S = n + 2 * {n(n-1)/(1*2)} + 3*{n*(n-1)*(n-2)/(1*2*3)} +...
= n * [1 +( n-1) / 1 + (n-1)*(n-2) / (1*2) + ...] =
= n * 2 ^ (n-1)
Die Formel kann auch mit vollständiger Induktion bewiesen
werden.
Etwas schwieriger sind die Teilaufgaben b) und c) zu lösen.
Empfehlung: Beweis mit vollständiger Induktion,
ausgehend von den Resultaten (ohne Gewähr):
zu b)
S = [(2 n) ! ] / [ n ! ] ^ 2
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zu c)
S = 6 ^ n - 25 * b ( n , 2 ) - 5 * n - 1
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 16:01: |
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Hi Charity,
Eine elegante Lösung Deiner ersten Aufgabe möchte ich
Dir nicht vorenthalten !
Betrachte die Funktion
f(x) = ( 1 + x ) ^ n für eine gegebene natürliche Zahl n.
Bestimme die Ableitung f ' (x ) = n * (1 + x ) ^ (n-1)
von f(x) .
Entwickle f ( x ) nach dem binomischen
Lehrsatz, leite gliedweise ab und setze x = 1 in der Summe ein.
Du bekommst die gesuchte Reihe für S ;diese ist gleichwertig
zur Ableitung f ' ( 1 ) = n * 2 ^ ( n - 1)
von f(x) an der Stelle x = 1;
alles ist in bester Ordnung
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 19:11: |
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Hi Charity,
Wir wollen Deine zweite Aufgabe lösen ,und zwar
- im wahrsten Sinn des Wortes - auf Umwegen
In der Kombinatorik begegnet man einem Typus
von Aufgaben, welche unter dem Stichwort
" Irrfahrt im Strassennetz" bekannt sind.
Im ersten Quadrant eines rechtwinkligen Koordinatensystems
betrachten wir Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, so
genannte Gitterpunkte, z.B. den Punkt P (8 / 6)
Wir fragen:
Welches ist die Anzahl der kürzesten Wege ,die vom
Nullpunkt O(0/0) nach P führen, wenn die Klauseln gelten:
Es dürfen nur Schritte nach rechts (parallel zur +x-Achse), Code 0,
und Schritte nach oben, parallel zur +y-Achse ,Code 1,
durchgeführt werden.
Jeder zugelassene Weg kann durch eine Sequenz mit 8 Nullen
und 6 Einern dargestellt werden,
zum Beispiel so:
0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1
Aus der Kombinatorik wissen wir, dass es 14 tief 6 = 14 tief 8
solche Sequenzen gibt.
Im Beispiel gibt es somit 3003 Möglichkeiten, auf die verlangte Art
von O nach P zu gelangen.
Um unsere Aufgabe 2 zu lösen,
berechnen wir die Anzahl bestimmter Wege auf zwei Arten,
setzen die Resultate einander gleich,
und schon steht die gewünschte Formel da.
Diese Aufgabe lautet
Man berechne die Anzahl der Wege vom Nullpunkt O(0/0) nach dem Punkt P(n/n)
A] direkte Bestimmung der Anzahl z1, wie in der Einleitung vermerkt
B] durch Addition der Anzahl Wege, die der Reihe nach über die Punkte
(n/0), (n-1/1),(n-2/2) ,(n-3,3)...(1/n-1), (0 / n ) führen, erhalten wir z2
N.B. Diese Punkte liegen auf der "Hauptdiagonalen" des Gitternetzes.
Die Summe ihrer Koordinaten ist stets n,daher steht in z2 "oben"
immer n .also durchwegs b(n,..)
Es gilt:
z1 = (n +n) tief n = 2 n tief n = b(2n,n)
z2 = [b(n,0)]^2 + [b(n,1)]^2 +[b(n,2)]^2+....+[b(n,n-1)]^2+[b(n,n)]^2
Aus z1 = z2 folgt die Behauptung
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 20:00: |
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Hi Charity,
Packen wir's an, die dritte Aufgabe nämlich
Wir entwickeln den Term T = ( 1 + 5 ) ^ n mit Hilfe des
binomischen Lehrsatzes.
Aus T = 6 ^ n entsteht die Summe
T = 1 + n * 5 / 1+ { n*(n-1) } / {1*2} * 5^2 + b(n,3)* 5^3 +
+... + b(n,n-1) * 5 ^ (n-1) + b(n,n) *5^n.
Beachte
für b(n,0) * 5 ^ 0 wurde 1,
für b(n,1) * 5 ^ 1 wurde der zweite Summand,
für b(n,2) * 5 ^ 2 wurde der dritte Summand gesetzt.
Gerade die Summe U dieser drei Summanden muss von T
subtrahiert werden, damit wir die in der Aufgabe vorgegebene
Summe S erhalten., denn die Summation für S beginnt
erst mit j = 3.
Wir berechnen den Wert von U :
U = 1 + 5 * n + 25 * ½ * n* (n-1)
Das Resultat S = T - U = 6 ^ n - U
wurde bereits in meiner ersten Arbeit angegeben..
Damit ist die Aufgabe umfassend behandelt
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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