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Nullstellen von komplexen Polynomen

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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 18:14:   Beitrag drucken

Kann mir jemand sagen, wie ich bei folgenden Polynomen die Nullstellen ausrechne?
p/q-Formel ist ja klar, aber wie wende ich die vor allem bei f an?

f(z) = iz^2 - z + 1 + i
g(z) = z^2 + 4z + 4 - 2i
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Fern
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Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 21:53:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
Wir wenden lieber die abc-Formel an (weil ich die pq-Formel nicht kann).
ax²+bx+c=0
Dann ist x = [-b±sqrt(b²-4ac)] / (2a)
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Angewendet auf: z²+4z + 4-2i = 0

z = [-4 ± sqrt(16 - 16 +8i)] / 2 = -2 ± sqrt(8*i) / 2

Es ist: sqrt(8i)/2 = sqrt(2i) = 1 + i

also z = -2 ± (1 + i) = -1 + i und -3 -i
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Die andere Aufgabe ist etwas komplizierter:
iz² - z +1 +i = 0

z = [1 ± sqrt(1 -4i +4)] / (2i) ........ wir multipizieren Zähler und Nenner mit -2i

z = [-2i ± 2i*sqrt(5 - 4i)] / 4 = -½ ± ½i*sqrt(5 - 4i)
======================================
Dieses Resultat kann man noch etwas "verschönern".
Mein Computer ergibt:
z = (-1/4)*sqrt(-10 + 2*sqrt(41)) + i*(-½ - (1/4)*sqrt(10 + 2*sqrt(41))
= -0,41879 - i*1,6938
und
z = (1/4)*sqrt(-10 + 2*sqrt(41)) + i*(-½ + (1/4)*sqrt(10 + 2*sqrt(41))
= 0,41879 + i*1,6938
==========================================================
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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 17:13:   Beitrag drucken

Vielen Dank, ich kannte die abc-Formel vorher nicht... mit Hilfe derer isses natürlich durchaus einfach. :)
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 17:11:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
Ich glaube nicht, dass dies an der abc-Formel liegt.
Mit der pq-Formel müsste es genauso leicht/schwer gehen!
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Ich halte es nur für unsinnig, dass man sich zwei Formeln merken soll und bevorzuge die abc-Formel.
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Markus Pöstinger (Sinister)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 18:43:   Beitrag drucken

Naja, mit der p/q-Formel bin ich nicht weitergekommen, weil ich nicht gewußt habe, wie vor dem x² das i wegzubekommen ist...
Die p/q-Formel ist bei x² + px + q
x1,2 = -p/2 ± sqrt(p²/4 - q)
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superknowa
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 19:11:   Beitrag drucken

Du musst die Gleichung mit (-i) multiplizieren (oder durch i teilen):

i*z^2 - z + 1 + i = 0 | *(-i)
z^2 + i*z - i + 1 = 0

und dann die p-q-Formel

z1;2 = -i/2 ± Ö(-1/4+i-1)...

Aber damit ist dieRechnung noch nicht fertig, da man eine Darstellung z = a + i*b will...

superknowa

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