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katja (Pietry2)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 17:41: | 
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hi, ich suche alle ideale von Z/12Z={n+12Z /n=0...11}. welche sind prim, welche maximal?
wär nett wenns bis mittwoch klappen würde...dankeschön. |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 14:37: |
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Halle, Katja!
Alle Ideale findest Du z.B., indem Du den (offensichtlichen!) Ringhomomorphismus Z->>Z/12Z betrachtest. Er ist surjektiv, und es ist allgemein so, daß bei einem surjektiven Ringhomomorphismus f:R->>S die Ideale von S via Urbild-Nehmen unter f bzw. Bild von f bilden in 1:1-Korrespondenz stehen mit den Idealen von R, die den Kern von f umfassen (kann man ganz leicht beweisen!).
In unserem Fall entsprechen die Ideale von Z/12Z also denjenigen Idealen von Z, die den Kern unseres Ringhomomorphismusses, also 12Z, umfassen.
Nun ist bekanntlich Z ein Hauptideal Ring, d.h. alle Ideale von Z sind von der Form (a) für a aus Z. Und wann umfaßt (a) das Ideal 12Z=(12)? genau dann, wenn 12 Element von (a) ist, d.h. wenn a ein Teiler von 12 ist. Die Ideale von Z/12Z sind also die Bilder der Ideale (1),(2),(3),(4),(6),(12) in Z/12Z, also (1)/12Z, (2)/12Z, (3)/12Z usw.
Nach dem 2.(?) Isomorphiesatz gilt
Z/a isomorph (a/12Z) / (Z/12Z) für ein Ideal a aus Z.
Um zu bestimmen, welche der obigen Ideale prim bzw. maximal sind, müßtest Du ja den Quotientenring von (Z/12Z) nach Deinen Idealen ausrechnen und dann schauen, ob ein Integritätsring bzw. ein Körper herauskommt. Wegen des Isomorphiesatzes kannst Du die Quotienten aber in Z berechen:
(Z/12Z) / ((a)/12Z) isomorph Z/(a).
Und für welche der obigen a ist Z/(a) integer bzw. ein Körper? Bekanntlich gerade für diejenigen a, die prim sind (und dann immer Körper), d.h. in Z/12Z sind alle Primideale schon maximal, und es sind die Ideale
(2)/12Z und (3)/12Z. |
katja (Pietry2)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 17:35: |
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danke danke danke, du bist ein schatz...werd mich gleich hinsetzen und nachrechnen... |
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