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Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 15:46: | 
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Hallo!
Ich habe heute in der Vorlesung Abbildungen behandelt und eine Übung bekommen. Naja, es geht da hauptsächlich um die Begriffe der Injektivität und Surjektivität, die ich irgendwie nicht ganz verstehe.
Hier sind die Aufgaben!
Für die Komposition der Abbildungen f: X -> Y und g: Y -> Z soll gezeigt werden:
a) gf injektiv => f injektiv
b) gf injektiv => g surjektiv
c) f,g injektiv => gf injektiv
d) f,g surjektiv => gf surjektiv
Ich muß ehrlich zugeben, daß ich nicht einmal weiß warum f und g manchmal zusammen und manchmal durch Komma getrennt dastehen! Ich kann mir das alles nicht so ganz vorstellen und zeigen kann ich das natürlich auch nicht.
Könntet ihr mir das vielleicht erklären?
Danke vielmals. |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 19:36: |
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gf heist : du setzt erst ein x in f ein und das Resultat f(x) in g
g,f ist kurz geschrieben für g und f
um zu zeigen, daß eine Funktion f surjektiv ist, mußt du ein beliebiges y aus dem Bildbereich Y nehmen und zeigen, daß hierzu ein x aus dem Definitionsbereich X existiert mit f(x)=y
um zu zeigen, daß eine Funktion f surjektiv ist, mußt Du zwei Werte f(x1) und f(x2) aus dem Bildbereich von f nehmen und zeigen, daß hieraus folgt x1=x2 |
Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 10:15: |
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Hallo Armin.
Leider kann ich dir nicht ganz folgen. Du verwendest hier zweimal den Begriff surjektiv und erwähnst injektiv nicht (also nehme ich an die erste Beschreibung soll injektiv definieren).
Leider weiß ich immer noch nicht warum in meiner Aufgabe manchmal f,g unf manchmal gf geschrieben wurde ... welchen Unterschied gibt es da?
Danke für die Hilfe |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 13:49: |
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gf ist die Verkettung von g und f, also die Funktion, die entsteht, wenn Du g(x) anstelle von x in f einsetzt. Ein kurzes Beispiel verdeutlicht es vielleicht besser : f(x)=x² g(x)=x+1, dann ist (fg)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)²
Injektivität beweist man einfach, indem man zeigt, daß aus f(x1)=f(x2) auch x1=x2 folgt.(mit anderen Worten : Es existiert höchstens ein Urbild)
f,g bedeutet einfach nur, daß beide Funktionen die vorausgesetzte Eigenschaft haben.
Zum Eingewöhnen rechne ich a) vor :
Wir wissen, daß gf injektiv ist, also aus g(f(x1))=g(f(x2)) folgt x1=x2
Wir wollen zeigen, daß f injektiv ist. Also betrachten wir zwei gleiche Bilder.
f(x)=f(y) => g(f(x))=g(f(y)) => x=y
In ähnlichem Schema laufen auch die übrigen Aufgaben ab. |
Adriana (Adriana)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 14:26: |
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Danke dir Ingo.
Das ist ja eigentlich gar nicht so schwer; ich hätte in der Vorlesung mal ein wenig besser aufpassen sollen!
Naja, danke nochmal. |
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