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Dini
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 20:52: | 
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1. Zeigen Sie für x,y e (Element) R, x,y > 0:
a) X/1+x < y/1+y <=> x < y;
b) x+y/1+x+y < (kleiner gleich) x/1+x +y/1+y
2. Zeigen Sie:
a) 2 hoch n! für jede natürliche Zahl n> (größer gleich) 4
b) (n über k)1/k! < (kleiner gleich) 1/k! für alle natürlichen Zahlen n> (größer gleich) 1, k> (größer gelich) 0
c)(1 + 1/n) hoch n < (kleiner gleich) Summe von k=o bis n (1/k!) < 3 für jede natürliche Zahl n> (größer gleich) 1 |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 07:39: |
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Dini :
1.
a) Die linke Ungleichung ist aequivalent mit
(x-y)/[(1+x)(1+y)] < 0.
b) Wegen x,y > 0 ist
x/(1+x+y) < x/(1+x), y/(1+x+y) < y/(1+y)
2.
a) 2^(n!) > 4 ist falsch fŸr n=0,1,2 und trivial
fŸr n >= 3.
b) So wie es da steht, ist es offenbar falsch.
c)Nach dem binomischen Satz ist
(1+1/n)^n = sum[k=0..n]binom(n,k)/n^k.
Beachte, dass fŸr k >= 2 :
binom(n,k)/n^k = n(n-1)...(n-k+1)/n^k*(1/k!)
(1-1/n)(1-2/n)...[1-(k-1)/n]*(1/k!) < 1/k!.
Also
(1+1/n)^n =< sum[k=0..n](1/k!).
Es gilt k! >= 2^(k-1) fŸr k >= 1, also
sum[k=0..n](1/k!) < 1 + 1 + 1/2 +... + (1/2)^(n-1)
= 1 + 2*[1 - (1/2)^n] = 3 - (1/2)^(n-1).
mfg
Hans |
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