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Cinderella (Cinderella)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 15:48: | 
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Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen, kann sie aber nicht lösen!
Nach dem n-ten Tag genügt die Konzentration x(n) eines Medikamentes im Körper eines Patienten der Relation
x(n+1) = qx(n) + 4, n = 0, 1, 2, ...
a.) Bestimmen Sie q, falls die Konzentration nach 2 Tagen 8.8 und nach 4 Tagen 5.152 beträgt.
b.) Wie groß war die Anfangkonzentration x(0)?
c.) Konvergiert die Folge x(n)? Wenn ja, gegen welchen Wert? (Die Antwort sollte ausreichend begründet sein, ein formaler Beweis ist nicht zwingend notwendig, aber wünschenswert.) Was bedeutet dieses Ergebnis für das Modell?
Ich fände es total nett von euch, wenn ihr vielleicht ein paar Erklärungen dazu schreiben könntet!
Viiiiiiiiielen Dank!!
Cindy |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 18:52: |
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Cinderella :
Nach der Rekursionsformel ist
x(1) = q*x(0) + 4
x(2) = q^2*x(0) + 4q + 4
x(3) = q^3*x(0) + 4q^2 + 4q + 4
x(4) = q^4*x(0) + 4q^3 + 4q^2 + 4q + 4 , etc.
Erweitere die 2. Gl. mit q^2 und subtrahiere
von der 4. Gl. Nach Umordnen bleibt die
quadratische Gleichung
8.8q^2 + 4q - 1.152 = 0
fŸr q. Einzige positive Loesung : q = 0.2.(Rechne nach !)
Aus der 2. Gleichung ergibt sich damit x(0) = 100.
Obige Gln. fŸr x(1),...,x(4) etc. suggerieren die
allgemeine Formel
x(n) = q^n*x(0) + 4[q^(n-1) + ... + q + 1]
deren GŸltigkeit aufgrund der Rekursionsformel
evident ist (Probe !). Der Ausdruck in [ ] ist
eine geometrische Reihe :
q^(n-1) + ... + q + 1 = (1-q^n)/(1-q) (q<>1)
Nach Umformung ergibt sich fŸr x(n) die explizite
Darstellung
x(n) = 95*(0.2)^n + 5 , n = 0,1,2,...
Da (0.2)^n --> 0 fŸr n--> oo, so folgt
lim[n-->oo]x(n) = 5,
d.h.: nach hinreichend langer Zeit unterscheidet
sich x(n) um beliebig wenig von dem Wert 5.
mfg
Hans |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 20:48: |
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Hi Cindy,
die Folge <x(n+1)> bildet eine geometrische Reihe bis auf das Glied mit dem Faktor x(0):
x(1)=qx(0)+4
x(2)=qx(1)+4 = q²x(0)+4q+4 [x(1) eingesetzt]
x(3)=qx(2)+4 = q³x(0)+4q²+4q+4 [x(2) eingesetzt]
x(4)=qx(3)+4 = q4x(0)+4q³+4q²+4q+4 [x(3) eingesetzt]
.
.
.
x(n+1) = qn+1x(0) + 4qn +...+ 4q + 4, die explizite Summenformel lautet:
x(n+1)=qn+1x(0) + 4*(1-qn+1)/(1-q)
Das erste Glied muss noch dazu addiert werden, da es in der geom. Reihe nicht enthalten ist.
Nun müssen wir noch q und x(0) bestimmen.
x(4)=qx(3)+4 = 5,152 und da x(3)=qx(2)+4 mit x(2)=8,8 ist, gilt x(3)=8,8q+4 und damit ist
x(4)=8,8q²+4q+4=5,152
Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen q=1/5 oder q=-36/55, wobei q aber positiv sein muss, denn schließlich kann der Körper keine negative Konzentration enthalten. Das überprüft man einfach indem man für q=-36/55 x(3) berechnet.
Jetzt berechnet man rückwärts erst x(1) und dann x(0).
Ergebnis: x(1)=24 und x(0)=100
Nun lautet die explizite Formel für die Konzentration:
x(n+1) = 100*0,2n+1 + 4*(1-0,2n+1)/(1-0,2)
Und diese Reihe konvergiert auch gegen einen Grenzwert.
wenn n ® unendlich dann
100*0,2n+1 ® 0
Zähler: 4*(1-0,2n+1) ® 4
Bruch: 4*(1-0,2n+1)/(1-0,2) ® 4/0,8
also ist
limn®00x(n+1)=5
Gruß Toby |
Toby (Toby)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 20:54: |
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Da war Hans etwas schneller als ich... |
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