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Tommy
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 09:19:   Beitrag drucken

1. Finden Sie für das Produkt
( 1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) ... (1 - 1/n^2)
eine kurze algebraische Formel, und beweisen Sie diese durch vollst. Induk.

2. Wieviele Personen muss es in einem Raum geben, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass (mindestens) zwei von ihnen den gleichen Geburtstag haben, mehr als 50% beträgt ?

3. Zeigen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass für alle neN \ {1} gilt
(1+x)^n >= ((n^2)(x^2))/4

4.(verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung)
Beweisen Sie induktiv die nachstehende Ungleichung: Sind die reellen Zahlen
x1,...,xn ( n >= 2 ) alle positiv oder alle negativ, aber nicht mehr als -1, so ist
(1+ x1) (1+ x2) ... (1+ xn) > 1+ x1+ x2 +...+ xn
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Carmichael (Carmichael)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 12:31:   Beitrag drucken

Hallo,

1. bedenke: 1 - 1/a^2 = (a^2-1)/a^2 = (a-1)*(a+1)/a^2;
damit wird die Formel zu:
1*2 * (3*...*(n-1))^2 * n * (n+1) / (n!)^2 =
= (n+1)/2n;

2. stell dir die Leute sortiert vor und mach Ansatz über Komplement (keine zwei haben am gleichen Jahrestag):
p = 1 - (365!/(365-n)!)/365^n > 0.5;

3. x sei reel positiv .
Nach binomischem Lehrsatz gilt:
(1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)/2*x^2 + .... >=
>= 1 + nx + n(n-1)/2*x^2 = 1 + nx + n^2x^2/2 - nx^2/2 >= (wegen n >=2) 1+nx + n^2x^2/4 + 2nx^2/4 - nx^2/2 = 1+nx+ n^2x^2/4 >= n^2x^2/4

4. sind alle positiv einfach ausmultiplizieren.
sind alle negativ aber > -1 dann Induktion:
Annahme: n=2: (1+x1)(1+x2) = 1 + x1 + x2 + x1x2 > 1 + x1 + x2, da x1*x2 Produkt zweier negativer Zahlen und damit positiv
Schritt: n->n+1:
(1+ x1) (1+ x2) ... (1+ x_n+1) =
= (1+ x1) (1+ x2) ... (1+ x_n)(1+ x_(n+1)) >
> [wegen (1+ x_(n+1)) > 0 ] (1+ x1+ x2 +...+ xn)(1+ x_(n+1)) = 1+ x1+ x2 +...+ xn + x_(n+1) + (x1+ x2 +...+ xn)*x_(n+1); letzter Summand ist wieder positiv, da alle negativ, also:
(1+ x1) (1+ x2) ... (1+ x_n+1) > 1+ x1+ x2 +...+ xn + x_(n+1);


MfG

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