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Supremum, Infimum, Maximum, etc. von ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Arithmetische und algebraische Grundlagen » Supremum, Infimum, Maximum, etc. von Mengen « Zurück Vor »

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Daniel
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 20:05:   Beitrag drucken

Hallo, wie geht das?


Bestimmen Sie, soweit vorhanden, jeweils

Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der beiden Teilmengen von IR:

A = {x € IR; x = 1 +(-1)n + 1/2n, n € IN}

B = {x € Q; x³ +x² -2x -2 £ 0}


Hmmm... man könnte bei B vielleicht die Funktion x³ +x² -2x -2 nach x ableiten, aber die Ableitung ist eigentlich noch nicht drangewesen, also noch gar nicht definiert ... geht das vielleicht auch etwas "elementarer" ?
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Thomas
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 09:21:   Beitrag drucken

Hallo Daniel,

wenn ich mir die Menge A mal aufschreibe, kann ich sie in 2 Folgen aufgliedern, von denen eine von 2,25 runter gegen 2 strebt und die andere von oben gegen 0
Folglich Supremum = Maximum = 2,25 und Infimum 0. Minimum gibt es keins, da kein Folgenglied die 0 liefert.

Bei B bringt Ableiten nichts, denn du suchst ja nicht das Maximum der Funktionswerte, sondern das maximale x mit f(x)<=0. Du musst also die Nullstellen bestimmen. (-1 ist die erste, dann Polynomdivision).

Grüße,
Thomas
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Daniel
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 23:46:   Beitrag drucken

Hallo Thomas, vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das hat mir schon viel weiter geholfen.


Ìch glaube, die B ist mir jetzt klar, ich habe herausbekommen:

x³ +x² -2x -2 = (x+1)*(x²-2)

Die Werte von x, für die der Ausdruck x³ +x² -2x -2 möglichst groß (also gleich Null) wird, sind dann x=+1, x=sqrt(2) und x=-sqrt(2).

Der größte Wert hiervon ist x=sqrt(2), das ist das Supremum der Menge B.
Ein Maximum hat B nicht, da sqrt(2) nicht in der Menge Q enthalten ist.

Ein kleinstes x, für das der Ausdruck die Bedingung <= 0 noch erfüllt, gibt es nicht, B ist nicht nach unten beschränkt; also gibt es kein Infimum.

Daher gibt es auch kein Minimum.


Die A macht mir Probleme:
jetzt habe ich auch erkannt, dass gilt:

für ungerade n gehen die Werte von x = 1 +(-1)n + 1/2n angefangen von ½ gegen 0,
für gerade n gehen die Werte von x angefangen von 2¼ gegen 2.

hier habe ich aber keine Ungleichung wie bei B, darf ich denn trotzdem sagen,
ich habe den Wert 0 für das Infimum vorliegen?
Kann man das vielleicht irgendwie beweisen?


Dankende Grüße
Daniel
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Thomas
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Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 20:24:   Beitrag drucken

Hallo Daniel,

was du zur Menge B geschrieben hast, ist absolut richtig.

Bei A ist 0 das Infimum, was du so beweisen kannst:

Zunächst ist 0 eine untere Schranke, da kein Folgenglied negativ ist.

Die Null ist sogar die größte untere Schranke (und damit Infimum), denn angenommen b>0 ist auch untere Schranke:
Es existiert ein ungerades n mit 1/2^n < b. Dann ist das entsprechende Folgenglied kleiner b und damit b keine untere Schranke. Widerspruch.

Grüße,
Thomas
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Daniel
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 23:35:   Beitrag drucken

Danke Thomas. Jetzt ist es mir klar.

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