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Daniel
| Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 20:05: |
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Hallo, wie geht das? Bestimmen Sie, soweit vorhanden, jeweils Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der beiden Teilmengen von IR: A = {x € IR; x = 1 +(-1)n + 1/2n, n € IN} B = {x € Q; x³ +x² -2x -2 £ 0} Hmmm... man könnte bei B vielleicht die Funktion x³ +x² -2x -2 nach x ableiten, aber die Ableitung ist eigentlich noch nicht drangewesen, also noch gar nicht definiert ... geht das vielleicht auch etwas "elementarer" ? |
Thomas
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 09:21: |
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Hallo Daniel, wenn ich mir die Menge A mal aufschreibe, kann ich sie in 2 Folgen aufgliedern, von denen eine von 2,25 runter gegen 2 strebt und die andere von oben gegen 0 Folglich Supremum = Maximum = 2,25 und Infimum 0. Minimum gibt es keins, da kein Folgenglied die 0 liefert. Bei B bringt Ableiten nichts, denn du suchst ja nicht das Maximum der Funktionswerte, sondern das maximale x mit f(x)<=0. Du musst also die Nullstellen bestimmen. (-1 ist die erste, dann Polynomdivision). Grüße, Thomas |
Daniel
| Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 23:46: |
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Hallo Thomas, vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hat mir schon viel weiter geholfen. Ìch glaube, die B ist mir jetzt klar, ich habe herausbekommen: x³ +x² -2x -2 = (x+1)*(x²-2) Die Werte von x, für die der Ausdruck x³ +x² -2x -2 möglichst groß (also gleich Null) wird, sind dann x=+1, x=sqrt(2) und x=-sqrt(2). Der größte Wert hiervon ist x=sqrt(2), das ist das Supremum der Menge B. Ein Maximum hat B nicht, da sqrt(2) nicht in der Menge Q enthalten ist. Ein kleinstes x, für das der Ausdruck die Bedingung <= 0 noch erfüllt, gibt es nicht, B ist nicht nach unten beschränkt; also gibt es kein Infimum. Daher gibt es auch kein Minimum. Die A macht mir Probleme: jetzt habe ich auch erkannt, dass gilt: für ungerade n gehen die Werte von x = 1 +(-1)n + 1/2n angefangen von ½ gegen 0, für gerade n gehen die Werte von x angefangen von 2¼ gegen 2. hier habe ich aber keine Ungleichung wie bei B, darf ich denn trotzdem sagen, ich habe den Wert 0 für das Infimum vorliegen? Kann man das vielleicht irgendwie beweisen? Dankende Grüße Daniel |
Thomas
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 20:24: |
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Hallo Daniel, was du zur Menge B geschrieben hast, ist absolut richtig. Bei A ist 0 das Infimum, was du so beweisen kannst: Zunächst ist 0 eine untere Schranke, da kein Folgenglied negativ ist. Die Null ist sogar die größte untere Schranke (und damit Infimum), denn angenommen b>0 ist auch untere Schranke: Es existiert ein ungerades n mit 1/2^n < b. Dann ist das entsprechende Folgenglied kleiner b und damit b keine untere Schranke. Widerspruch. Grüße, Thomas |
Daniel
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 23:35: |
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Danke Thomas. Jetzt ist es mir klar. |
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