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Mengen....

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Michi
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 15:45:   Beitrag drucken

Bitte um schnelle Hilfe...

1. Seien A,B und C nichtleere Mengen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen

(a) Distributivgesetze:
Au(BnC) = (AuB)n(AuC)
An(BuC) = (AnB)u(AnC)

2. Zeigen Sie, dass für die nichtleeren Mengen
A,B und C folgende Aussagen gelten:

(a) (A\B)\C = A\(BuC)
(b) (A enth. in B) <=> AuB=B
(c) A x (BuC) = (A x B) u (A x C)
(d) A x (BnC) = (A x B) n (A x B)
(e) B = C <=> A x B = A x C

3. Seien A,b nichtleere Mengen und f:A->B eine
Abbildung.Beweisen sie folgende Aussagen:

(a) Es existiert eine Abbildung g:f(A)->A mit
g°f=idA (linksinverse), genau dann, wenn f
injektiv ist.
(b) Es existiert eine Abbildung h:B->A mit
f°h=idB (Rechtsinverse) genau dann,
wenn f surjektiv ist

5. Sei f: R->R eine Abbildung.Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann, wenn jede Parallele
zur x-Achse den Graphen von f höchstens
einmal schneidet
(b)f ist surjektiv genau dann, wenn jede
Parallele zur x-Achse den Graphen von f
mindestens einmal schneidet
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Nicole (Jakky)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 13:04:   Beitrag drucken

Ich glaub', da kann ich Dir helfen:
Bei den Beweisen, mußt Du die Gleichheit der Mengen beweisen.

1. Distributivgesetz

Sei x Element von Au(BnC), d.h. x Element A oder x Element BnC.
Falls x Element von A, so folgt x Element AuB und x Element AuC. also x Element (AuB)n(AuC).
Falls x Element BnC, also x Element B und x Element C, so gilt x Element AuB und x Element AuC.
Dies zeigt: Au(BnC) ist Teilmenge von (AuB)n(AuC)

Sei x Element (AuB)n(AuC)
Falls x Element A, so gilt x Element Au(BnC).
Falls x nichtElement A, so gilt x Element B (denn x Element AuB) und x Element C (denn x Element AuC).
Also liegt x in BnC und damit x Element Au(BnC).

Kombiniert man die beiden Teile des Beweises, so erhält man
Au(BnC) = (AuB)n(AuC), die Behauptung.

2. Distributivgesetz
zu zeigen: An(BuC) = (AnB)u(AnC)

Sei x Element An(BuC). Also muß x Element von A und x Element von BuC sein.
1. Fall: x Element B
Dann folgt x Element AnB und somit x Element
(AnB)u(AnC).
2.Fall: x Element C
Dann folgt x Element AnC und somit X Element
AnB)u(AnC)

Sei x Element (AnB)u(AnC).
1. Fall: x Element AnB.
Dann liegt x in A und in B. Damit liegt x auch in BuC, also x Element An(BuC)
2. Fall: x Element AnC.
Dann liegt x in A und in C. Damit liegt x auch in BuC, also x Element An(BuC)

Kombiniert man wiederum die beiden Teile so, erhält man die Behauptung. Kurz, man beweist, daß die Menge links vom Gleichheitszeichen eine Teilmenge der Menge rechts vom Gleichheitszeichen ist und anderesherum. Daraus kann man dann folgern, daß die beiden Mengen gleich sind.

Genauso kann man dann auch die Regeln für die Differenzenmengen (2a) beweisen. (Solltest Du noch etwas unsicher sein, schreib ich's gern auch noch mal auf !)
Auch die anderen Regeln unter 2 würde ich ebenso beweisen.
Bei den Äquivalenzumformungen würde ich etwas anders vorgehen.
Beispiel: A Teilmenge von B <=> AuB = B
Sei x Element von A, so ist x Element von B.
Daraus folgt, daß alle Elemente von AuB auch in B enthalten sind.
Einen genauen Beweis kenne ich aber auch nicht. Sorry !!

Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedem y-Wert höchstens ein x-Wert zugeordnet ist. Schneidet, die Parallele, die die y-Achse bei z.B. 4 schneidet, den Graph der Funktion zweimal, so gibt es ja für den Wert y=4 zwei X-Werte
(-x,y)/(x,y). Draus folgt: es gilt nicht mehr:
Wenn f(a) = f(b), so folgt a=b. Denn sowohl
f(-x)= y , als auch f(x)=y.

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedem y-Wert mindestens ein x-Wert zugeordnet ist. Eine Paralle, die die y-Achse bei y schneidet, hat mit dem Graphen den Schnittpunkt (x,y). Daraus folgt, f(x)=y. Wenn nun jede Paralle den Graphen mindestens einmal schneidet, so gibt es zu jedem y ein x, so das gilt f(x)=y.

Mfg
jakky
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michi
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 14:21:   Beitrag drucken

vielen lieben dank!

es wär lieb wenn du nr.2 das nochmal hinschreibst.dann kann ich es vielleicht besser nachvollziehen.
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Nicole (Jakky)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Oktober, 2001 - 21:59:   Beitrag drucken

Zur zweiten Regel für DIfferenzenmengen:
(A\B)\C = A\(BuC)

Sei x Element (A\B)\C.
Dann gilt x Element A\B und x nichtelement C. Da x Element A\B, liegt x nicht in B. Aus x nichtelement B und x nichtelement C können wir x nichtelement BuC schließen und es folt,
x Element A\(BuC).

Sei x Element A\(BuC).
Dann liegt x in A, aber weder in B noch in C. Es folgt x Element A\B und da x nichtelement C, folgt x Element (A\B)\C.

Wieder folgt die Gleichheit der Mengen (A\B)\C und A\(BuC).

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