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Beitrag |
    
Nicole Garbers (Jakky)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 15:19: | 
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Aufgabe: Sei R ein Ring und sei x element R mit
x^3 = x mal x mal x = 0
a) zu beweisen: 1+x ist eine Einheit in R
b) Beispiel für einen Ring und ein Element x element R mit x <> 0 und x^3 = 0
zu a ) (1+x) soll eine Einheit sein d.h. es ist invertierbar, d.h. es ist invertierbar in der Halbgruppe (R,.)
Das neutrale Element in (R,. ) ist (immer?) 1
(Stimmt das ??)
Das inverse Elemt zu a ist ( immer ??) a^-1
somt ist das inverse Element zu (1+x) = (1+x)^-1
= 1 / (1+x)
Für alle x <> -1 ist das inverse Element möglich.
Reicht das als Begründung ?? Wäre ein anderer Beweis möglich ??
b)
Beispiel : Z/1Z = Menge von Null-Obenstrich
Ist das Beispiel richtig und möglich ??
Oder zählt Null-Obenstrich wie Null ??
Wer kennt ein anderes Beispiel ??
MfG jakky |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 14:39: |
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Hallo Jakky,
ein Ring muss nicht notwendigerweise ein neutrales Element der Multiplikation enthalten. Manchmal definiert man aber "Ring" so, dass solch ein Element existieren soll. Musst du mal in deine Unterlagen kucken, wie ihr das definiert habt.
Wenn ein neutrales Element der Multiplikation existiert, dann ist es eindeutig (d. h. es gibt kein weiteres), und man bezeichnet es mit "1".
Da bei Aufg. a) die 1 in der Fragestellung vorkommt, liegt hier also (offenbar) ein Ring mit neutralem Element der Multiplikation vor.
Das Inverse a^(-1) zu einem Element a muss aber nicht immer existieren!!
Du musst zeigen:
Wenn x³=0, dann existiert ein y mit y*(x+1) = (x+1)*y = 1.
Setze y = x² - x + 1 und rechne nach!
b) Ja, Null-Oberstrich zählt wie Null!
In Z/8Z ist 2 <> Null, aber 2³ = Null. |
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