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Beitrag |
    
Anastasija (Anastasija)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 15:01: | 
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Sei F ein endlicher Körper. Zeigen Sie:
a) Es gibt natürliche Zahlen n element N>0, so dass
Summe i=1 bis n 1F(F ist tiefgestellt)=0F (wieder tiefgestellt). Dabei Bezeichnet man 1F das Einselement und 0F das Nullelement von F.
b)Die kleinste solche Zahl n ist eine Primzahl |
matroid
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 16:25: |
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Hallo Anastasija,
verwende die Abkürzung n*1 für
"Summe i=1 bis n 1F(F ist tiefgestellt)".
Angenommen n*1 != 0 für alle neN [N ohne 0].
Betrachte die Menge { xeK | n*1 = x }
Da K endlich ist, N aber nicht, existieren verschiedene n1,n2eN mit
n1*1 = n2*1
=> (n1-n2)*1 = 0 [im Körper darf man das)
=> n1 = n2, denn die Annahme war ja, daß kein
0<neN existiert mit n*1=0. Folglich muß n1=n2 sein. Aber das ist ein Widerspruch dazu, daß n1 und n2 verschieden gewählt worden sind.
b) Es gibt also 0<neN mit n*1=0. Sei n' das kleinste solche n. Also gilt n'*1 = 0.
Weil K ein Körper ist, sind 0 und 1 in K verschieden [will sagen: das Nullelement ist nicht das gleiche wie das Einselement]. Darum ist n' größer als 1eN.
Angenommen n' ist keine Primzahl
=> Es ex. Zahlen 1<p,reN mit n'=r*p.
=> n'*1 = (r*p)*1 = r*(p*1) = 0 [Rechengesetze im Körper]
Weil n' das kleinste n seiner Art ist, ist p*1!=0
Zu p*1 [einem Element aus K] existiert ein inverses Element xeK mit (p*1)*x = 1 (eK)
Multipliziere die Gleichung r*(p*1) = 0 mit x
=> 0 = 0*x = (r *(p*1)) * x = r * ((p*1)*x) [Assoziativgesetz in K]
=> 0 = r * ((p*1)*x) = r * 1
Dann ist aber r auch von der Art, daß r*1=0. r ist aber kleiner als n' => Widerspruch.
Bemerkung: Man muß darauf achten, daß man immer weiß, welche 1 nun aus K und welche aus N gemeint ist.
Gruß
Matroid |
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