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Beitrag |
    
Anastasija (Anastasija)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 15:13: | 
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1. Bestimmen Sie für die Anfangsbedingungen x(0)=0 und x’(0)=12 die Lösung x(t) der
a)homogenen Bewegungsgleichung x’’+3x’-10x=0
b)inhomogenen Bewegungsgleichung x’’+3x’-10x=-10
Dabei bezeichnet x’=dx/dt und x’’=d²x/dt². Machen Sie für Teil a den Ansatz x(t)=e^(t/r) und lösen Sie die sich ergebende charakteristische Gleichung. (Hier hab ich schon mal für r=-0,2 und r=0,5 raus, weiß aber net wie es weitergeht) Die Lösung für Teil b ergibt sich dann, wenn Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung addieren.
2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung x(t) zu x’’-4x’+4x=0
Sie werden feststellen, dass das charakteristische Polynom eine doppelte Nullstelle (1/r1=1/r2=1/r) besitzt. Auf diese Weise erhalten Sie nur eine Lösung (Ich hab da r=0,5) Zeigen Sie, dass x(t)= x exp(t/r) eine zweite Lösung ist und geben Sie die Gesamtlösung für die Anfangsbedingung x(0)=1 und x’(0)=0 an.
3. Die Strophoide hat in Parameterdarstellung die Form: x(b)=-a cos(2b), y(b)=-a cos(2b)tan(b) mit a>0 und –pi/2<b<pi/2.
a)Berechnen Sie y(x) und geben Sie den Definitionsbereich an.
b)Rechnen Sie daraus d/dy y(x) aus.
c)Skizzieren Sie die Kurve in der xy-Ebene für a=1.
(Was soll denn hier bitte x sein? Ist das vielleicht das gleiche wie b und da ist also ein Druckfehler drin? |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 17:29: |
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Hallo Anastasija,
Aufgabe 3) die Strophoide.
Der Druckfehler liegt nur in deiner Zeile b)
Es muss heißen: Rechnen Sie daraus d/dx y(x) aus.
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x ist die Abszisse und y die Ordinate in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem.
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Die Kurve ist in Parameterform gegeben:
x(b) = -a*cos(2b)
y(b) = -a*cos(2b)*tan(b)
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b ist der Parameter (den man gewöhnlich mit t bezeichnet).
Um y als Funktion von x zu ermitteln rechnet man den Parameter explizit aus und setzt ihn in die andere Gleichung ein. Dies scheitert aber hier.
Deshalb suchen wir zunächst eine andere Parameterdarstellung:
Wir setzen t = tan(b) (Aha!, deshalb wurde der Buchstabe t reserviert).
Dann ist cos(2b) = cos(2*arctan(t))
Jetzt muss man Trigonometrische Formeln kennen:
cos(2*arctan(t)) = 2/(1+t²)-1 = (1-t²)/(1+t²) meint jedenfalls mein Computer)
Dies eingesetzt:
x(t) = a*(t²-1)/(t²+1)
y(t) = a*t*(t²-1)/(t²+1)
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Eine neue Parameterdarstellung mit dem Parameter t, den wir nun eliminieren können:
(t²-1)/(t²+1) = x/a = y/(a*t)
t = y/x......... dies setzen wir in x(t) ein:
x = a*[(y²/t²-1)/(y²/x²+1)] = a*(y²-x²)/(y²+x²)
a(y²-x²) = x(y²+x²)
ay²-ax² - xy² - x³ = 0
(a-x)y² - x²(a+x) = 0
y² = x²(x+a)/(a-x) die Strophoide in x-y Koordinaten
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Der Definitionsbereich ist damit: [-a; a] (bitte nachrechnen)
und die Ableitung y'(x) kan nun ermittelt werden.
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Oktober, 2001 - 17:36: |
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Korrektur:
Definitionsbereich ist [-a; a) |
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