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Die Fibonacci Zahlen ?

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Sharon (Sharon)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 16:20:   Beitrag drucken

Hallo an euch Lieben!

Bin gerade dabei einen Beweis fertig zu stellen, aber ich komme nicht weiter. Heir mein Problem:

1) Die Fibonacci Zahlen a(index)n sind induktiv definiert durch:

a(index)0 := 1 , a(index)1 := 1 ,
a(index)n+1 := a(index)n-1 + a(index)n

und das für alle n >= 1.

Zu zeigen ist nun:

n =< a(index)n =< 2(hoch)n für alle n aus N mit 0


Ich habe nun schon echt lange rumgetüfftelt, aber ich komme auf keinen grünen Zweig.

Dankeschön
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matroid
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 19:47:   Beitrag drucken

Hi Sharon,

erstens zu zeigen:
n<=a(n)

Induktionsanfang: n=0 => a(0)=1 >= 0, also richtig.
Induktionsvoraussetzung a(n)>=n für alle n<=no, mit einem no>=0

Induktionsbehauptung: a(n+1)>=n+1 für n>0
Nach Rekursionsformel ist a(n+1)=a(n)+a(n-1)
Und nach Induktionsvoraussetzung ist a(n)>=n und a(n-1)>=n-1
=> a(n+1)>=n+n-1
Außerdem ist n>0. Also entweder n=1 oder n>=2
Wenn n>=2, dann ist n-1>=1 und folglich auch a(n+1)>=n+1.
Aber wenn n=1, dann funktioniert diese Abschätzung nicht. Ist aber nicht so schlimm. Lediglich der Induktionsschluß funktioniert nur für n>1. Nehmen wir also a(2)>=2 mit in die Induktionsverankerung.
a(2)=a(1)+a(0)=2 => a(2)>=2, also ok.


Zweitens zu zeigen: a(n)<=2n
Induktionsanfang n=0 => 1<=0, stimmt.
Und nach der Erfahrung von eben auch noch die Verankerung für n=1 => 1<=2, stimmt auch.
[Man muß hier 2 Werte in der Verankerung prüfen, weil die Rekursion 2 Glieder zurückgeht.]

Induktionsvoraussetzung a(n)<=2n für alle n<=no, mit einem no>=1

a(n+1)=a(n)+a(n-1) <= 2n + 2n-1 <= 2n + 2n = 2n+1
Fertig.

Gruß
Matroid
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Sharon (Sharon)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 21:56:   Beitrag drucken

Vielen Dank Matroid.

Ich denke ich habe es kapiert!

Viel Spass noch ...
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shaggilla
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 18:52:   Beitrag drucken

bonjour mes amis. hmm ich hab nun hier ne aufgabe, mit der ich nicht viel anfangen kann.
Es sei u(n) (für n Element der natürlichen Zahlen) die Folge der Fiboacci-Zahlen.
Bestimme
u(n)²-u(n-2)*u(n+2).
für n>=3.
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P
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 22:10:   Beitrag drucken

Hallo shaggilla,
Bitte für neue Fragen einen neuen Beitrag öffnen.

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