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Mathenull
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 12:54: | 
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Man ermittle den geometrischen Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt der Abstände von 2 festen Punkten konst. c gößer 0 ist. Diskutieren Sie dieses Objekt in Abhängigkeit von der Zahl I P1P2I*C^-1 I=Betrag
Wer das rausfindet hat mir sehr geholfen und ist zu Höherem berufen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 16:06: |
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Hi Mathenull,
Der geometrische Ort der Punkte, deren Abstände r , r1
von zwei festen Punkten F( k / 0 ), F1 ( - k / 0 )
das konstante Produkt r * r1 = c = p ^ 2 ergeben,
ist eine Cassinische Kurve.
Die Form einer solchen Kurve hängt wesentlich vom
Quotient q = p / k ab.
Für q >> 1 ist die Kurve ellipsenähnlich .
Für q = 1 entsteht eine Lemniskate mit Doppelpunkt
im Ursprung
Liegt q zwischen 1 und wurzel(2),
liegt ein Oval mit zwei Einbuchtungen vor.
Für q < 1 besteht die Kurve aus zwei getrennten Ovalen.
Die implizite Form in rechtwinkligen Koordinaten
der Gleichung einer Cassinischen Kurve lautet:
(x^2 + y^2 + k^2 -2 k x ) * (x^2+y^2+k^2+2 k x = p^4
wie man leicht nachrechnet.
Du kannst nach y auflösen ; im Resultat stehen zwei
Quadratwurzeln in einer Verschachtelung.
Suche auch die Extrema !
Sie liegen auf einem Kreis mit Zentrum in O , Radius k
u.s.w.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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