| Autor |
Beitrag |
    
Tobias Wieland (Mbstudi)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 21:14: | 
|
Es wäre schon wenn mir jemand bei den beiden Aufgaben helfen könnte
1. Man zeige, daß für |x|<1
log((1+x)/(1-x))
=Summe(n=0 bis oo) 2(x^(2n+1)/(2n+1))
gilt und folgere für n Element der natürlichen
Zahlen
0 < (n+(1/2))log(1+(1/n))-1 < 1/(12n(n+1))
2. Eine Funktion
f : D -> Reelle Zahlen, D ein Intervall
heißt konvex, fall es je 2 Punkte a,b Element
D und alle t Element [0,1] gilt:
f(ta+(1-t)b) kleiner gleich tf(a)+(1-t)f(b).
Man zeige, daß eine zweimal stetig differenz-
ierbare Funktion genau dann konvex ist, wenn
gilt:
f''(x) größer gleich 0 für alle x Element
der Reellen Zahlen.
Vielen Dank für eure Hilfe |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 07:48: |
|
Tobias :
Anleitung zu 1. : Sei f(x) := log[(1+x)/(1-x)].
Wegen f(-x)= - f(x) koennen wir uns auf 0< x < 1
beschraenken. Wir gehen aus von der geometrischen
Reihe (1-t^n)/(1-t) = sum[k=0..n-1]t^k, oder
anders geschrieben
1/(1-t) = sum[k=0..n-1]t^k + t^n/(1-t).
Wir integrieren beiderseits Ÿber [0,x]
und erhalten
- log(1-x) = sum[k=0..n-1]t^(k+1)/(k+1) + R_n(x)
mit
R_n(x) = int[0..x]t^n/(1-t) dt
Wegen 0<t<x gilt 0<1-x<1-t ==> 1/(1-t) < 1/(1-x)
==> R_n(x) < 1/(1-x)*int[0..x]t^n dt
==> R_n(x) < x^(n+1)/[(n+1)(1-x)].
Daraus folgt dass R_n(x)->0 fŸr n->oo. Damit hat
man die unendliche Reihe fŸr log(1-x):
log(1-x) = - sum[k=1..oo]x^k/k.
Analog findet man die Reihe fŸr log(1+x). Nun
subtrahiert man erlaubterweise beide Reihen,
wobei sich offenbar die geraden x-Potenzen herausheben.
mfg
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 19:44: |
|
Hi Tobias,
Zu Deiner zweiten Aufgabe führe ich
Dir einen Beweis vor, dessen Nachvollzug
nicht zu grosse Schwierigkeiten bieten sollte.
Wir geben dem Satz eine etwas geänderte Form.:
Notwendig und hinreichend dafür, dass eine
differenzierbare Funktion f(x) konvex oder
konkav sei, ist die
Monotonie der ersten Ableitung f '(x).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir behandeln im folgenden den Fall der
Konvexität; der Fall eines konkaven f(x) geht
analog.
(I)
Wir zeigen : Die Bedingung ist notwendig
Voraussetzung : der Kurvenbogen ist konvex
===========
Behauptung: f ' (x) < = f '(v) für alle x ,v
=========
mit x < v aus dem entsprechenden Intervall.
Sei Q(x , r) der Differenzenquotient von f(x)
an der Stelle x, also
Q(x,r) = [ f ( r ) - f ( x ) ] / ( r - x )
Dann gilt für alle x, u, v mit x < u < v aus dem Intervall:
Q(x,u)) < = Q(x,v) < = Q(u,v)
Analog
Für alle u,v,w mit u < v < w aus dem Intervall
Q(u,v) < = Q(u,w) < = Q(v,w)
Somit gilt:
Q(x,u) < = Q(v,w)
Jetzt kommt der Grenzübergang:
x und v werden festgehalten, u strebt gegen x , w gegen v.
Aus den Differenzenquotienten werden Ableitungen,:
wir erhalten die gewünschte Ungleichung:
f ' ( x ) < = f '( v ) für alle x < u aus dem genannten Intervall..
Ende des Teils (I)
(II)
Die Bedingung ist auch hinreichend, d.h.
Voraussetzung:
==========
Für beliebige x, v aus dem Intervall mit x < v gelte:
f ' ( x ) < = f ' ( v )
Behauptung
========
Es liegt ein konvexer Kurvenbogen vor ,
dies bedeutet etwa:
f [ ½ * ( x + v ) ] < = ½ * [f(x) + f(v) ] für alle x , v mit x < v.
Beim Beweis wenden wir zweimal den Mittelwertsatz
der Differentialrechnung an
Die entsprechenden Zwischenwerte werden mit s1 und s2
bezeichnet.
Es ist:
f [½ * (x+v)] = f(x)+ ½* (v-x) * f ' (s1) mit x < s1 < ½ * (x+v)
f [½ * (x+v)] = f(v) + ½*( x-v) *f ' (s2) mit ½ * (x+v) < s2 < v
Zunächst schliessen wir: s2 > s1
Durch eine Addition beider Zeilen erhalten wir die Beziehung:
f [ ½ *(x+v)] = ½ * [ f(x) + f(v)] + ¼*(v-x)* [ f '(s1) - f '(s2) ] ,
Wegen s1< s2 gilt nach Voraussetzung: f ' (s1) < = f ' (s2)
Wir lassen den zweiten Summanden weg ,da er negativ ist
und schreiben:
f [ ½ *(x+v)] < = ½ * [ f(x) + f(v) ] ,wzbw.
Ende des zweiten Teils
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
|
