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Beitrag |
    
arslan
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 14:15: | 
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Wer kann mir helfen,diese Aufgabe bis Mittwoch zu
loesen ?
Zeigen Sie:
Für alle Primzahlen p > 3 gilt:
Es existiert ein m Element N, so dass
(p*p)= 24m +1 gilt.
Muss p prim sein , damit (1) gilt, oder reichen
schwächere Annahmen ? |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 16:42: |
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Gegenbeispiele :
p=25, m=26
p=35, m=51
Allgemeine Betrachtung : 24|p²-1 <=> (8*3)|(p-1)(p+1)
Wäre p gerade, so wäre p²-1 ungerade (Widerspruch). Also muß p ungerade sein. Da (p-1)(p+1) für ungerade p stets durch 8 teilbar ist bleibt als Bedingung 3|(p²-1)
Dies bedingt aber(Modulo-Rechnung) p=3s+1 oder p=3s+2.
Da oben schon gezeigt wurde,daß p ungerade sein muß, kann p=6s+1 oder p=6s+5 gewählt werden mit beliebigen Werten für s.
Warum gilt das nun für alle Primzahlen ?
Betrachten wir hierzu den Rest, den eine Primzahl (>5) beim teilen durch 6 annehmen kann :
| p mod 6 | J/N | Grund | | 0 | Nein | p wäre durch 6 teilbar | | 1 | Ja | | | 2 | Nein | p wäre gerade | | 3 | Nein | p wäre durch 3 teilbar | | 4 | Nein | p wäre durch 2 teilbar | | 5 | Ja | | |
Also fallen die Primzahlen in die geforderte Kategorie. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 17:11: |
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arslan :
Die Aufgabe hat nichts mit Induktion zu tun.
Die Frage lautet: Ist fŸr Primzahlen p > 3
die Zahl p^2 - 1 durch 24 teilbar ? Dazu genŸgt es, die Teilbarkeit durch 3 und durch 8 zu untersuchen.
1. p ist entweder kongruent 1 oder -1 (mod 3)
==> p^2 - 1 kongruent 0 (mod 3).
2. p ist kongruent 1, -1, 3, oder -3 (mod 8)
==> p^2 - 1 kongruent 0 (mod 8)
Es reicht schon hin, dass p ungerade und nicht
durch 3 teilbar ist.
mfg
Hans |
Grobi
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 20:16: |
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Siehe auch
www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/4244/20965.html |
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