Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Sturmsche Kette

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Numerik » Sturmsche Kette « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Olaf (Oschei)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 19:09:   Beitrag drucken

Soweit ich mitbekommen habe dient sie zur Errechnung ALLER Nullstellen in einem Intervall.
Bloß wie lauten die Formeln(verständlich erklärt)???

Hofentlich kann mir jemand helfen oder ein gutes Buch empfehlen.
Danke schon mal im voraus !!!
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath.
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Olaf ,

Zitat aus dem "Mathematischen Begriffswörterbuch" von
Herbert Meschkowski,B I ( Hochschultaschenbuch Nr.99 ) :

< f(x) sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten ohne
mehrfache Nullstellen, [a,b] ein Intervall reeller Zahlen.,
und es gelte:
f(a) * f(b) ungleich null
Von f(x) = fo(x) und f ' (x) = f1(x) ausgehend
führe man den Euklidischen Algorithmus durch:
fo(x) = q1(x)*f1(x) - f2(x)
f1(x) = q2(x)*f2(x) - f3(x)
...........................................
f{n-2}(x) = q{n-1}(x) *f{n-1}(x) - fn,
wobei fn ungleich null , konstant.

Bezeichnet man mit w(t)
( t reell und nicht Nullstelle von f(x) ) die Anzahl der
Vorzeichenwechsel in der Folge
.fo(t),f1(t),.....f{n-1}(t),fn,
in der man etwa auftretende Nullen weggelassen hat, so gilt:

Die Anzahl der reellen Nullstellen von f(x) im Intervall [a,b]
ist gleich w(a) - w(b)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Die Folge der Polynome fo(x),f1(x).....f{n-1}(x) heisst eine
STURMSCHE KETTE >

Bei Gelegenheit werde ich ein numerisches Beispiel geben.

Literatur:B.L.van der Waerden,Algebra I, Springer-Verlag

Mit reundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Olaf (Oschei)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 10:30:   Beitrag drucken

Hast du auch ne ISBN Nr.,
bei Amazon.d gibt es nur Band II
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

H.R.Moser,megamath.
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 17:41:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Hier das versprochene numerische Beispiel zur Einübung
des Sturmschen Satzes.
( Jacques- Charles -François Sturm,1803-1855 )

Gegeben sei das Polynom
f(x) = x ^ 5 - 2 x ^ 4 - x + 2
Die Nullstellen des Polynoms sind - so viel sei verraten -
1, 2 , -1 , i1 , -i1.
Wir bilden die STURMsche Kette und weisen nach, dass
im Intervall a < = x < = b mit a = - 6 , b = 6
genau 3 reelle Nullstellen liegen

Vorbemerkung
Da bei der Ermittlung der Differenz w(a) - w(b) nur die
Vorzeichen von fo(a),f1(a),...,fo(b),f1(b).. eine Rolle spielen
und nicht die Absolutbetrage dieser Funktionswerte,
dürfen vor den Divisionen im Euklidischen Algorithmus
Dividend und Divisor mit passenden positiven Konstanten
multipliziert werden um die Rechnungen zu vereinfachen;
im folgenden sind diese Faktoren angegeben.

0.
Ausgangspunkt :fo(x) = f(x) von oben
f1(x) = f ' (x) = 5 x ^ 4 - 8 x ^ 3 - 1

1.
Division 5* fo / f1 auf die bekannte Art
(5x^5 - 10x^4 - 5x + 10) : (5x^4 -8x^3-1) = x - 2/5 = q1,
Der Rest ist R2 = - f2 mit
f2(x) = 16 / 5 x ^ 3 + 4 x - 48 / 5
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Beachte den Vorzeichenwechsel von R2 zu f2 !

2.
Division 4*f1 / [ 5/4 * f2 ] wie üblich
(20x^4-32x^3 -4) : (4x^3+5x-12) = 5x-8 = q2
Der Rest ist R3 = - f3 mit
f3(x) = 25 * x^2 - 100 * x + 100
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
3.
Division 5/4* f2 / [1/25 * f3] wie gewohnt:
(4x^3+5x-12) : (x^2-4x+4) = 4x + 16 = q3
Der Rest ist R4 = - f4 , also
f4(x) = - 53 * x + 76
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

4.
Division 53/25 * f3 : f4 wie gehabt:
(53x^2-212x +212 ): (-53x+76) = -x + 136/53 = q4
Rest R5=- f5(x), somit
f5(x) = - 900 / 53
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Wir ermitteln die Funktionswerte
fk(a) und fk(b), k = 0...5,
und die Anzahl der zugehörigen Vorzeichenwechsel.
Es gilt;
fo(-6) = -10360, f1(-6)= +8207, f2(-6)= -724,8, f3(-6)= +1600,
f4(-6) = +394, f5(-6) = - 900/53
Anzahl w(a) der Vorzeichenwechsel:
w(a) = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4
fo(6) = +5180, f1(6) = +4751 , f2(6) = +705,6 , f3(6) = + 400
f4(6) = - 242 , f5(6) = - 900/ 53.
Anzahl w(b) der Vorzeichenwechsel:
W(b) = 0 + 0 + 0 +1 + 0 = 1

Somit erhalten wir: w(a)-w(b )= 4-1= 3
Das Polynom hat im Intervall [ -6, 6] und überhaupt
genau 3 Nullstellen.

Aufgabe zum selber Lösen:
Ermittle mit Hilfe einer STURM-Kette die Anzahl der
Nullstellen des Polynoms
f(x) = x ^ 6 - 63 x + 64 im Intervall [1,2]
Lösung:
Im Intervall liegen 2 reelle Nullstellen.

Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Olaf (Oschei)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 17:27:   Beitrag drucken

Ich werde die Aufgabe am Wochenende rechnen.
Vielen Dank, du hast mir sehr damit geholfen.

Vielleicht weißt du ja folgendes Problem auch noch.

Die Ungenauigkeit bei der PQ-Fprmel wird folgendermaßen Ausgeglichen:

x1=-(-(-p/2)+sqrt(Diskriminante)

x2=q/x1 ist der andere Wert.

Wie komme ich auf x2 ???
Vielleicht kannst du mir das herleiten?

Trotzdem erstmal vielen Dank.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

AlterGaul
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 14:30:   Beitrag drucken

sag ma studierst Du an der FH in Emden? ;)
Das ist doch schon der Satz von Vieta oder wie der Mann auch immer geschrieben wird.

x2=q/x1 musste halt nur umstellen. Das q haste doch, und x1 mit der Formel darüber auch.

Also machste einfach x2=q/x1 und bist fertich ;)

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page