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Olaf (Oschei)
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 19:09: |
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Soweit ich mitbekommen habe dient sie zur Errechnung ALLER Nullstellen in einem Intervall. Bloß wie lauten die Formeln(verständlich erklärt)??? Hofentlich kann mir jemand helfen oder ein gutes Buch empfehlen. Danke schon mal im voraus !!! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 21:46: |
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Hi Olaf , Zitat aus dem "Mathematischen Begriffswörterbuch" von Herbert Meschkowski,B I ( Hochschultaschenbuch Nr.99 ) : < f(x) sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten ohne mehrfache Nullstellen, [a,b] ein Intervall reeller Zahlen., und es gelte: f(a) * f(b) ungleich null Von f(x) = fo(x) und f ' (x) = f1(x) ausgehend führe man den Euklidischen Algorithmus durch: fo(x) = q1(x)*f1(x) - f2(x) f1(x) = q2(x)*f2(x) - f3(x) ........................................... f{n-2}(x) = q{n-1}(x) *f{n-1}(x) - fn, wobei fn ungleich null , konstant. Bezeichnet man mit w(t) ( t reell und nicht Nullstelle von f(x) ) die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge .fo(t),f1(t),.....f{n-1}(t),fn, in der man etwa auftretende Nullen weggelassen hat, so gilt: Die Anzahl der reellen Nullstellen von f(x) im Intervall [a,b] ist gleich w(a) - w(b) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Die Folge der Polynome fo(x),f1(x).....f{n-1}(x) heisst eine STURMSCHE KETTE > Bei Gelegenheit werde ich ein numerisches Beispiel geben. Literatur:B.L.van der Waerden,Algebra I, Springer-Verlag Mit reundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
Olaf (Oschei)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 10:30: |
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Hast du auch ne ISBN Nr., bei Amazon.d gibt es nur Band II |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 17:41: |
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Hi Olaf, Hier das versprochene numerische Beispiel zur Einübung des Sturmschen Satzes. ( Jacques- Charles -François Sturm,1803-1855 ) Gegeben sei das Polynom f(x) = x ^ 5 - 2 x ^ 4 - x + 2 Die Nullstellen des Polynoms sind - so viel sei verraten - 1, 2 , -1 , i1 , -i1. Wir bilden die STURMsche Kette und weisen nach, dass im Intervall a < = x < = b mit a = - 6 , b = 6 genau 3 reelle Nullstellen liegen Vorbemerkung Da bei der Ermittlung der Differenz w(a) - w(b) nur die Vorzeichen von fo(a),f1(a),...,fo(b),f1(b).. eine Rolle spielen und nicht die Absolutbetrage dieser Funktionswerte, dürfen vor den Divisionen im Euklidischen Algorithmus Dividend und Divisor mit passenden positiven Konstanten multipliziert werden um die Rechnungen zu vereinfachen; im folgenden sind diese Faktoren angegeben. 0. Ausgangspunkt :fo(x) = f(x) von oben f1(x) = f ' (x) = 5 x ^ 4 - 8 x ^ 3 - 1 1. Division 5* fo / f1 auf die bekannte Art (5x^5 - 10x^4 - 5x + 10) : (5x^4 -8x^3-1) = x - 2/5 = q1, Der Rest ist R2 = - f2 mit f2(x) = 16 / 5 x ^ 3 + 4 x - 48 / 5 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Beachte den Vorzeichenwechsel von R2 zu f2 ! 2. Division 4*f1 / [ 5/4 * f2 ] wie üblich (20x^4-32x^3 -4) : (4x^3+5x-12) = 5x-8 = q2 Der Rest ist R3 = - f3 mit f3(x) = 25 * x^2 - 100 * x + 100 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 3. Division 5/4* f2 / [1/25 * f3] wie gewohnt: (4x^3+5x-12) : (x^2-4x+4) = 4x + 16 = q3 Der Rest ist R4 = - f4 , also f4(x) = - 53 * x + 76 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 4. Division 53/25 * f3 : f4 wie gehabt: (53x^2-212x +212 ): (-53x+76) = -x + 136/53 = q4 Rest R5=- f5(x), somit f5(x) = - 900 / 53 °°°°°°°°°°°°°°°°°° Wir ermitteln die Funktionswerte fk(a) und fk(b), k = 0...5, und die Anzahl der zugehörigen Vorzeichenwechsel. Es gilt; fo(-6) = -10360, f1(-6)= +8207, f2(-6)= -724,8, f3(-6)= +1600, f4(-6) = +394, f5(-6) = - 900/53 Anzahl w(a) der Vorzeichenwechsel: w(a) = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4 fo(6) = +5180, f1(6) = +4751 , f2(6) = +705,6 , f3(6) = + 400 f4(6) = - 242 , f5(6) = - 900/ 53. Anzahl w(b) der Vorzeichenwechsel: W(b) = 0 + 0 + 0 +1 + 0 = 1 Somit erhalten wir: w(a)-w(b )= 4-1= 3 Das Polynom hat im Intervall [ -6, 6] und überhaupt genau 3 Nullstellen. Aufgabe zum selber Lösen: Ermittle mit Hilfe einer STURM-Kette die Anzahl der Nullstellen des Polynoms f(x) = x ^ 6 - 63 x + 64 im Intervall [1,2] Lösung: Im Intervall liegen 2 reelle Nullstellen. Viel Erfolg wünscht H.R.Moser,megamath. |
Olaf (Oschei)
| Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 17:27: |
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Ich werde die Aufgabe am Wochenende rechnen. Vielen Dank, du hast mir sehr damit geholfen. Vielleicht weißt du ja folgendes Problem auch noch. Die Ungenauigkeit bei der PQ-Fprmel wird folgendermaßen Ausgeglichen: x1=-(-(-p/2)+sqrt(Diskriminante) x2=q/x1 ist der andere Wert. Wie komme ich auf x2 ??? Vielleicht kannst du mir das herleiten? Trotzdem erstmal vielen Dank. |
AlterGaul
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 14:30: |
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sag ma studierst Du an der FH in Emden? ;) Das ist doch schon der Satz von Vieta oder wie der Mann auch immer geschrieben wird. x2=q/x1 musste halt nur umstellen. Das q haste doch, und x1 mit der Formel darüber auch. Also machste einfach x2=q/x1 und bist fertich ;) |
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