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Beitrag |
    
Dietrich (Didi2)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Oktober, 2001 - 14:22: | 
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Kann mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Man beweise (vollständige Induktion nehme ich an):
für x ungleich 1
(1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*...*(1+x^2^n)
=(1-x^2^(n+1))/(1-x)
Ich hoffe es meldet sich jemand
Bitte und Danke |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 07:54: |
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Dietrich :
Bezeichne das gegebene Produkt mit P(n).
Dann ist
P(0) = 1+x = (1-x^2)/(1-x)
d.h. die fragliche Aussage trifft fŸr n=0 zu.
Ferner gilt offenbar
P(n+1) = P(n)*[1+x^(2^(n+1)].
Daraus folgt : gilt die angegebene Formel fŸr
irgendein n (Induktionsannahme), so auch fŸr n+1
(nachrechnen !).
mfg
Hans |
Dietrich (Didi2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 14:42: |
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Danke, daß du dich gemeldet hast, aber es ging mir nicht um den den Ansatz (vielleicht hätte ich es schreiben sollen). Soweit bin ich auch schon lange. Bei der Umrechnung muß ich die ganze Zeit was übersehen oder es fehlt mir eine Kleinigkeit, da ich schon vor lauter Bäume den Wald nicht mehr sehe.
Ich bin soweit:
Zu beweisen gilt:
P(n+1)=P(n)*[1+x^(2^(n+1))]
mus ja nach der Annahme dann gleich
[1-x^(2^(n+2))]/(1-x) sein oder wegen
(a^n)^m=a^nm
[1-x^(2n+4)]/(1-x) (Ziel)
also wende ich diesen Potenzsatz auf P(n+1) an:
und bekomme
[1-x^(2n+2)]/(1-x) * [1+x^(2n+2)]
und am Ende dann das:
[1-x^(4n+4)]/(1-x)
das stimmt mit meinem (Ziel) aber nicht überein.
Wenn du oder jemand ander mir die Augen öffnen könnte und mir sagen könnte, was ich falsch mache oder was ich übersehen habe, wäre ich sehr dankbar.
Denn für n>1 gilt 2*n Augen sehen mehr als 2 Augen.
Danke im Voraus.
P.S.: Könntet ihr vielleich auch beim SCHUBFACHPRINZIP reinschauen, vielleich habt ihr da eine Idee.
Didi |
Dietrich (Didi2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Oktober, 2001 - 14:44: |
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Danke, daß du dich gemeldet hast, aber es ging mir nicht um den den Ansatz (vielleicht hätte ich es schreiben sollen). Soweit bin ich auch schon lange. Bei der Umrechnung muß ich die ganze Zeit was übersehen oder es fehlt mir eine Kleinigkeit, da ich schon vor lauter Bäume den Wald nicht mehr sehe.
Ich bin soweit:
Zu beweisen gilt:
P(n+1)=P(n)*[1+x^(2^(n+1))]
mus ja nach der Annahme dann gleich
[1-x^(2^(n+2))]/(1-x) sein oder wegen
(a^n)^m=a^nm
[1-x^(2n+4)]/(1-x) (Ziel)
also wende ich diesen Potenzsatz auf P(n+1) an:
und bekomme
[1-x^(2n+2)]/(1-x) * [1+x^(2n+2)]
und am Ende dann das:
[1-x^(4n+4)]/(1-x)
das stimmt mit meinem (Ziel) aber nicht überein.
Wenn du oder jemand ander mir die Augen öffnen könnte und mir sagen könnte, was ich falsch mache oder was ich übersehen habe, wäre ich sehr dankbar.
Denn für n>1 gilt 2*n Augen sehen mehr als 2 Augen.
Danke im Voraus.
P.S.: Könntet ihr vielleich auch beim SCHUBFACHPRINZIP reinschauen, vielleich habt ihr da eine Idee.
Didi |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 07:59: |
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Dietrich :
Zu beweisen ist nicht die Rekursionsformel
P(n+1) = P(n)*[1+x^(2^(n+1))],
denn diese ist nach Definition von P(n) evident.
Zu zeigen ist vielmehr folgendes:
Wenn schon fŸr irgendein n
P(n) = [1-x^(2^(n+1))]/(1-x)
gesichert ist, dann folgt daraus
P(n+1) = [1-x^(2^(n+2))]/(1-x).
Letzteres ist nach obiger Rekursionsformel sowie den Regeln der Potenzrechnung unmittelbar klar.
mfg
Hans |
Dietrich (Didi2)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 20:00: |
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Hab schon hingekriegt.
Habe mich bei den Potenzen verrechnet (ist schon Peinlich).
Trotzdem nochmal danke. |
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