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Carla
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 23:49:   Beitrag drucken

Wer kann mir helfen?

Aufgabe:

Seien X,Y,Z Mengen und f:X->Y bzw. Y->Z Abbildungen, und sei h=g o f. Beweisen oder wiederlegen Sie:

a) h injektiv => f injektiv. Ist zusätzlich f surjektiv, so ist auch g injektiv

b) h surjektiv => g surjektiv. Ist zusätzlich g injektiv, so ist auch f surjektiv.
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Carla
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Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 15:02:   Beitrag drucken

Kann jemand die augabe Lösen???
siehe oben!!Abbildungen!!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 13:58:   Beitrag drucken

Gemeint ist wohl f:X->Y bzw. g: Y->Z

a)

h injektiv => f injektiv

Stimmt! Wäre f(a) = f(b), dann wäre nämlich auch h(a) = g(f(a)) = g(f(b)) = h(b).

h injektiv und f surjektiv => g injektiv

Stimmt! Annahme g(c) = g(d) für c ungleich d. Es seien a, b aus X mit f(a) = c und f(b) = d (existieren, da f surjektiv). Dann ist
h(a) = g(f(a)) = g(c) = g(d) = g(f(b)) = h(b)
Das widerspricht der Injektivität von h.

b)

h surjektiv => g surjektiv

Stimmt!

Sei z aus Z. Finde y aus Y mit g(y) = z. Da h surjektiv, existiert x aus X mit h(x) = z. Setze y = f(x). Dann ist g(y) = g(f(x)) = h(x) = z.

h surjektiv und g injektiv => f surjektiv

Stimmt!

Sei y aus Y. Finde x aus X mit f(x) = y. Da h surjektiv, existiert x aus X mit h(x) = g(y). Wegen h(x) = g(f(x)) = g(y) folgt wegen der Injektivität von g, dass f(x) = y.

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