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DGl gesucht

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Differentialgleichungen » DGl gesucht « Zurück Vor »

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Golo Haas (Fox20)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 16:07:   Beitrag drucken

Hallo,

wer kann mir erklären, wie folgende Aufgabe funktioniert? Allerdings muss ich dazu sagen, dass ich von DGl's nicht sehr viel AHnung habe.

Berechnen Sie die Lösung f der DGl

f'''-f''+4*Pi^2*f'-4*Pi^2*f=0

zur Anfangsbedingung

f(1)=2e*(4Pi^2+1),f'(1)=8e*Pi^2 und f''(1)=0

Danke!


Golo Haas
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 19:47:   Beitrag drucken

Hallo Golo,
f''' -f'' + 4p²f' - 4p²f = 0
Homogene Dgl 3. Ordnung
Die charakteristische Gleichung ist:
r³ - r² + 4p²r - 4p² = 0
mit den Lösungen: r=1; r=2pi und r = -2pi
daher lautet die allgemeine Lösung der homogenen Dgl:
f(x) = C1*ex + C2*sin(2px) + C3*cos(2px)
=======
Wir bilden die Ableitungen:
f' = C1*ex + 2pC2*cos(2px) - 2pC3*sin(2px)
f'' = C1*ex - 4p²C2*sin(2px) - 4p²C3*cos(2px)
=========
Jetzt setzen wir die Anfangsbedingungen ein:
f(1) = C1*e + C3 = 2*e(4p² + 1)
f'(1) = C1*e + 2*C2*p = 8*e*p²
f''(1) = C1*e - 4*C3*p² = 0
===============
Aus diesen 3 Gleichungen:
C1 = 8p²
C2 = 0
C3 = 2e
und die gesuchte Partikularlösung lautet:
(eingestzt in die blaue Gleichung)
f(x) = 8p²ex + 2*e*cos(2px)
=====================================
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Golo Haas (Fox20)
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 09:49:   Beitrag drucken

Hallo,

vielen Dank für Deine Antwort, ich muss zugeben, dass ich vor Deiner Antwort wirklich fast gar keine Ahnung von DGls hatte, jetzt habe ich aber doch immerhin schon einen ersten Schimmer ;-).

Also, wie man auf die charakteristische Gleichung kommt, ist mir klar, wie man diese dann auflöst und die r's berechnet, auch. Was mir nicht klar ist, ist, wie Du aus den r's auf die Funktionen e^x, sin(2*Pi*x) und cos(2*Pi*x) schließt.

Meine Vermutung (mehr ist es leider nicht), ist, dass Du für das erste r eine Funktion suchst, für die gilt, dass f(r) = f(1) = 0 ist, also beispielsweise e^1=0 => e^x. Auch bei der zweiten Gleichung könnte dies so funktionieren, denn f(r) = f(2 * Pi * i) = 0 führt zu sin(2 * Pi * i) = 0. Aber beim dritten r? Da käme nach dieser Logik ja auch wieder sin heraus ... kannst Du mir vielleicht noch einmal erklären, wie das also richtig funktioniert? Das wäre total super!

Vielen Dank ansonsten für die sehr ausführliche Antwort, es hat mich sehr weitergebracht!


Golo
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 12:20:   Beitrag drucken

Hallo Golo,
Die Lösung solcher linearer, homogener Differenzialgleichungen n-ter Ordnung läuft nach Schema ab (dafür haben andere für uns vorgedacht).
Man stellt also die charakteristische Gleichung auf und ermittelt ihre Wurzeln.
1) Diese Wurzeln sind reell und verschieden: r1, r2, r3 ....
dann lautet eine allgemeine Lösung der Dgl:
y(x) = C1*er1*x + C2*er2*x + C3*er3*x + .... Cn*ern*x
===================================
2) Wurzeln reell aber Mehrfachwurzeln:
y(x) = C1*er*x + C2*x*er*x + C3*x²*er*x ....
===========================
3) Wurzeln komplex (unser Beispiel):
Diese Wurzeln treten immer paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf.
Bezeichnen wir eine solche Wurzel mit l + µi
Dann ist eine Lösung der Dgl:
y(x) = C1*el*x*cos(µx) + C2*el*x*sin(µx)......
=================================================
In unserem Beispiel ist eine Wurzel reell r1= 1
und zwei andere r2=2pi und r3= -2pi, also l=0 und µ=2p
daher die Lösung:
y(x) = C1*er1*x + C2*e0*x*cos(2px) + C3*e0*x*sin(2px)
mit e0*x=1 erhalten wir:
y(x) = C1*ex + C2*cos(2px) + C3*sin(2px)
Dies nennt man eine allgemeine Lösung.
===========================================
Warum das so ist, liest du besser in einem Buch über Differenzialgleichungen nach.
=======================
Die Koeffizienten C1, C2.... können dann durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Anzahl der Koeffizienten = Ordnung der Dgl.
Diese C dann eingesetzt ergibt die Partikularlösung.
=============================
Gruß, Fern
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Golo Haas (Fox20)
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 14:22:   Beitrag drucken

Hallo,

ich weiß ja gar nicht, was ich sagen soll außer einem riesengroßen, fetten DANKE! Ich schreibe nächste Woche eine Analysis-Klausur und Dank Dir habe ich endlich verstanden, was DGl's sind (bzw. wie man sie berechnet). Vielen, vielen Dank!

Ich habe trotzdem noch zwei kleine Fragen:

1. Angenommen, ich habe Fall 2, also reelle Mehrfachwurzeln, wie weit geht das dann mit y(x)? So wie ich Dein Posting interpretiere gilt dieses Beispiel ja nur für eine einzelne Mehrfachwurzel, und die Summe ist unendlich? Oder bricht sie irgendwann ab? Was ist, wenn es mehr als eine Mehrfachwurzel gibt (falls es so etwas überhaupt gibt)?

2. In Fall 3 wechseln sich cos und sin einfach immer ab, ja?

Viele Grüße und vielen Dank nochmals,


Golo
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 17:17:   Beitrag drucken

Hallo Golo,
An deiner Stelle würde ich mich zuerst auf einfache Beispiele konzentrieren. Man lernt zunächt über Dgl 2. Ordnung und die haben höchsten eine Doppelwurzel.

========
Zu den Fragen:
Es sind nie unendlich viele Glieder sondern insgesamt immer genau n.

Bei mehreren reellen Mehrfachwurzeln:
r1; r2; r3.... wobei r1 s-fach, r2 t-fach usw.
ist der Ansatz eine Linearkombination von:
er1*x; x*er1*x; x²*er1*x bis xs-1*er1*x;
er2*x; x*er2*x; x²*er2*x bis xt-1*er2*x;
usw.

Aber sowas kommt in der Praxis als Beispiel nie vor (höchstens für Spezialisten oder für theoretische Untersuchungen).
==================
Bei komplexen Mehrfachwurzeln:
Ist l + iµ s-fache Wurzel, dann ist auch l - iµ s-fache Wurzel und man hat 2s Glieder:
elx*cos(µx); elx*sin(µx); xelx*cos(µx); xelx*sin(µx)....
bis xs-1elx*cos(µx); xs-1elx*sin(µx)
(natürlich zur Lösung jedes Glied mit einem C-Faktor versehen und summieren)
Anmerkung: man nennt ein solches System von Funktionen ein Fundamentalsystem der Dgl. Dabei ist es wichtig, dass all diese Funktionen linear unabhängig sind. Die kann man mit der sogenannten Wronsky-Determinante prüfen.
===================================
z.B.: y(IV) + 2y'' +y = 0
r4 + 2r² + 1 = 0
r= i; i; -i; -i
ergibt eine allgemeine Lösung:
y(x) = C1cos(x) + C2sin(x) +C3*x*cos(x) + C4*x*sin(x)
=========================================
Für dich wäre es meiner Ansicht nach wichtiger, dich auch mit inhomogenen Gleichungen zu beschäftigen - oder stehen die nicht auf dem Programm?
==============
Gruß, Fern
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Golo Haas (Fox20)
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 17:24:   Beitrag drucken

Hallo,

okay, dann ist ja alles klar und ich kann die Prüfung bestehen :-).

Vielen Dank nochmals!

Grüße,


Golo


PS: Inhomogene kommen nicht dran, es geht nur um homogene, die wir auf sage und schreibe gerade mal zwei DIN A4-Seiten in der Vorlesung behandelt haben ... aber jetzt habe ich es verstanden. Danke!

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