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jan friedrich (Janf)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 12:59: | 
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Hallo zusammen...
Zeigen sie : Für alle n element N gilt:
n^5-n ist durch 5 teilbar.
Zeigen sie : Für alle Primzahlen p>3 gilt:
Es existiert ein m element N so
daß p^2=24m+1. (1)
Muß p prim sein damit (1) gilt,oder reichen schwächere Annahmen?
Bin gerade dabei mich damit zu beschäftigen...Jan |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 10:21: |
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Hallo Jan,
die erste wuerde ich so angehen:
n^5-n = n*(n4-1)
= n * (n²+1)*(n²-1)
= (n-1) * n *(n+1)* (n²+1)
Mache Fallunterscheidung, nach dem Rest, den n beim Teilen durch 5 läßt.
Es gibt dann 5 Fälle:
Rest 0: Wenn n=0 mod5, dann ist auch n5-n
durch 5 teilbar, denn n ist ein Faktor in
diesem Ausdruck.
Rest 1: Wenn n=1 mod5, dann ist n-1=0mod5 und
darum auch n5-n durch 5 teilbar, weil
n-1 ist ein Faktor in diesem Ausdruck.
Rest 4: Wenn n=4 mod5, dann ist n+1=0mod5 und
darum auch n5-n durch 5 teilbar, weil
n+1 ist ein Faktor in diesem Ausdruck.
Rest 2: Also ist n=5k+2 => (n²+1) = 25k²+20k+4+1
ist also durch 5 teilbar.
Rest 3: Also ist n=5k+3 => (n²+1) = 25k²+30k+9+1
ist also durch 5 teilbar.
Gruß
Matroid |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 16:05: |
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Hi Jan,
Sei u eine beliebige ungerade Zahl; sie liegt zwischen
zwei geraden Zahlen (u-1) und (u+1) ,von denen eine
durch 4,die andere durch 2 teilbar ist.
Somit ist v = u ^ 2 -1 = (u +1)* (u - 1)
durch 2 * 4 = 8 teilbar.
Ist u = p eine Primzahl >3, so ist p nicht durch drei teilbar,
wohl aber ist entweder (p -1) oder (p+1) durch drei teillbar
Mithin ist (gemeinsame Optik)
p^2 - 1 durch 3 * 8 = 24 teilbar unter der genannten
Voraussetzung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Grobi
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Oktober, 2001 - 20:17: |
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Zur letzten Aufgabe vergleiche auch
www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/4244/21256.html |
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