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Satz von Gauß?

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Doris (Doku)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 11:56:   Beitrag drucken

In einem regulären Tetraeder ist die Summe der nach außen gehenden Normalvektoren auf die Seitenflächen gleich 0.

wer kann denn damit was anfangen?
auch wenn ihr nur vermuten könnt, wie der beweis aussehen soll, helft mir bitte!
lg doris
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 13:36:   Beitrag drucken

Hi Doris,

Deine Formulierung dieser Aufgabe ist unvollständig,
eine wesentliche Bedingung fehlt !
Der Text des Satzes, der übrigens für beliebige
Tetraeder gilt, lautet:
Die Summe der Vektoren, welche zu den Seitenflächen
eines Tetraeders senkrecht nach aussen errichtet werden
und deren Längen gleich den Inhalten der entsprechenden
Seitenflächen sind, ist null.

Ich habe diesen Satz früher allgemein, ohne Benützung von
Koordinaten ,bewiesen (Archiv , Stichwort "involvierten") ;
dem Gedankengang zu folgen, ist für Anfänge jedoch nicht
ganz leicht.
Wenn Du Wert darauf legst, werde ich nach Möglichkeit eine
einfachere Version (mit Koordinaten) nachliefern.
Für das Verständnis sind auch hier profunde Kenntnisse über das
Vektorprodukt zweier Vektoren erforderlich.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Doris (Doku)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 15:56:   Beitrag drucken

ja wär ganz toll, wenn dus mir mittels vektoren erklären könntest!
lg doris
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 16:22:   Beitrag drucken

Hallo Doris und megamath,
Der Nullvektor muss sich doch auch für jede beliebige Länge der Vektoren ergeben solange sie nur alle gleiche Länge haben.
(Haben die Normalenvektoren die Längen der zugehörigen Flächen so müsste der Satz doch für jedes Polyeder gelten - nehme ich an, ohne es gerechnet zu haben).

Mit dem Satz von Gauß hat dies aber wenig zu tun. Um diesen anzuwenden, müsste man ein (konstantes) Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld) annehmen und dazu den Fluss durch die Begrenzungsflächen des Tetraeders bestimmen.

Der Fluss durch eine Fläche ist ja F. n*A
F(x,y,z)......das Vektorfeld
n..... der Normalenvektor
A........die Seitenfläche
oder als Integral geschrieben:

Fluss = ò ò (F.n dA als Oberflächenintegral über die gesamte Fläche.

Mit dem Satz von Gauß kann man dies in ein Volumenintegral umwandeln:
Fluss = ò ò ò div F dV
====================
Dieses letzte Trippelintegral kann dann durch drei ineinandergeschachtelte Integrale ausgewertet werden wobei dV = dxdydz ist.
===============================
Gruß, Fern
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Doris (Doku)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 18:53:   Beitrag drucken

also des letzte war ma jetzt zu hoch :)
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 19:54:   Beitrag drucken

Hallo Doris,
Wenn jemand auf Universitätsniveau nach dem Satz von Gauß fragt, müsste er/sie doch mit den Grundzügen der Vektoranalysis vertraut sein!

Was ist denn deiner Meinung nach der "Satz von Gauß"?
=======
Gruß, Fern
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 20:35:   Beitrag drucken

Hi Doris ,

Ich möchte Dir doch noch die angekündigte
Lösung Deiner Aufgabe mittels
Punkt- und Vektorkoordinaten vorführen.

Wir legen einen Würfel mit den Ecken ABCD EFGH
der Kantenlänge eins so in das bereitstehende rechtwinklige
Koordinatensystem (O,x,y,z), dass die Ecke A mit dem
Nullpunkt O und die Ecken B, D ,E in dieser Reihenfolge
auf der x-Achse, der y-Achse und der z-Achse liegen.
Die Ecken ACHF können als die Ecken eines regulären
Tetraeders aufgefasst werden, an dem wir Deinen Satz
verifizieren.

Die Koordinaten der Ecken sind:
A(0/0/0, B(1/0/0), C(1/1/1), D(0/1/0),
E(0/0/1), F(1/0/1), G(1/1/1), H(0/1/1)

Die von der Ecke A aus gehenden Kantenvektoren des
Tetraeders lauten:
Vektor a = AF = {1;0;1}, Vektor b = AC = {1;1;1) ,
Vektor c = AH = {0;1;1}
Die drei andern Kantenvektoren ergeben sich als
die Differenzen der Koordinaten des Endpunktes minus
Koordinaten des Anfangspunktes; also
Vektor d = FC = b-a = {1-1;1-0;0-1}= {0;1;-1}
Vektor e = FH = c-a = {0-1;1-0;1-1}= {-1;1;0}
Den Kantenvektor f = CH brauchen wir nicht.

Die Normalenvektoren n1 ,n2, n3 , n4 der Seitenflächen
ergeben sich als Vektorprodukte geeigneter Kantenvektoren,
nämlich:
n1 = a x b = {-1;1;1} steht auf der Seitenfläche AFC senkrecht,
n2 = b x c = {1;-1;1} steht auf der Seitenfläche ACH senkrecht,
n3 = c x a = {1;1;-1} steht auf der Seitenfläche AHF senkrecht
n4 = d x e = {1; 1; 1} steht auf der Seitenfläche FCH senkrecht

Man beachte ausserdem:
Der Betrag des Vektorprodukts u = v x w stimmt mit dem
Flächeninhalt des Parallelogramms überein,das von v und w
aufgespannt wird
Die Flächeninhalte der Seitenflächen unseres Tetraeders sind s
omit die halben Beträge obiger Vektorprodukte.
Das Vektorprodukt u ist so orientiert, dass die Vektoren
u,v,w in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraube bilden
(" Dreifingerregel der rechten Hand ")
Gerade aus diesem Grund sind bei der Addition der Vektoren
n1, n2, n3 ,n4 im wahrsten Sinn des Wortes
ZEICHEN zu setzen.
Der gesuchte Summenvektor s ist
s = ½* [ - n1 - n2 - n3 + n4 ]
(der Faktor ½ ist irrelevant )
Wenn Du die Rechnung Koordinate für Koordinate ausführst,
findest Du leicht das Schlussresultat:
s = o (Nullvektor).

Anmerkung
Der Satz gilt auch für nicht reguläe Tetraeder, wie in einem
früheren Beweis gezeigt wurde.
Die nach aussen zeigenden Normalenvektoren haben dann
unter sich verschiedene Längen, die zu den zughörigen
Flächen proportional sind.

Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Doris (Doku)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Oktober, 2001 - 21:19:   Beitrag drucken

frag mich nicht, ich hab mein zweites übungsblatt jetzt in mathe2 bekommen und das war eben eine der aufgaben. in der vorlesung machen wir aber den stoff nicht durch. und vorher hab ich das auch sicher nicht so genau gelernt. also woher soll ich das wissen ...
aber auch recht, stell ich meine fragen nächstes mal in einem anderem teil.
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 19. Oktober, 2001 - 08:26:   Beitrag drucken

Hallo Doris,
Ich wollte dich nicht entmutigen, um hier auf Universitätsniveau Fragen zu stellen.
Nur bin ich nach wie vor der Ansicht, dass man über den Gaußschen Satz nicht ohne Kenntnisse der Vektoranalysis diskutieren kann.
Also, bis zur nächsten Frage,
Gruß, Fern

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