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Monika
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 06:51: | 
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Hallo
Bitte helft mir, denn ich komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Beweise die Unendlichkeit der Primzahlen durch Widerspruch
Vielen Dank
Monika |
daler
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 10:05: |
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Hallo Monika,
gehen wir von der Menge P(n) = {p1, p2, ..., pk}, die alle Primzahlen <= n enthält, aus. (z.B. ist P(10) = {2, 3, 5, 7} ). Wir wollen nun zeigen, daß es eine Primzahl > n gibt.
Betrachte folgende Zahl q:
q := p1 * p2 * ... * pk + 1.
Sicherlich ist diese Zahl durch keine der pi (i = 1, .., k) teilbar.
Dann ist diese Zahl entweder selbst eine Primzahl, die natürlich > n ist, oder sie muß sich in Primfaktoren zerlegen lassen. Da sie durch kein Element aus P(n) teilbar ist, P(n) aber alle Primzahlen <= n enthält, heißt das, daß die Primfaktoren von q alle > n sind.
Damit haben wir gezeigt, daß es für jedes n eine Primzahl gibt, die größer als n ist. Es gibt also unendlich viele Primzahlen.
Ich hoffe, Du kommst damit weiter,
Daniel |
Monika
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 11:43: |
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Hallo
ich kann den Beweis den du geführt hast gut nachvollziehen, aber ich soll das so beweisen, dass ich davon ausgehen, dass es endlich viele primzahlen gibt und das dann auf einen widerspruch führe.
ich habe mir das so gedacht, wenn ich sage es gibt nur endlich viele primzahlen, dann kann das nicht sein, da sich alle n e N in ihre Primfaktoren zerlegen lassen und es jedoch unendlich viele n geben kann. Darunter kann dann auch wieder ein n sein, dass selbst prim ist, und somit muss es unendlich viele Primzahlen geben.
ich hab nur keinen blasen schimmer wie ich das formalisieren kann
Monika |
nomianjomo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 21:47: |
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Im Ansatz eigentlich `ne ganz tolle Idee. Womit ich nicht so ganz klarkomme ist der letzte Satz der Argumentation. warum soll unter den unendlich vielen n wieder ein n prim sein? |
Monika
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 08:58: |
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naja das soll nichts anderes heißen, als das es immer noch eine größere Zahl k e N geben muss als n e N.
Wenn k < n kann es sein, dass k keine Primfaktorzerlegung besitzt, also ist k prim.
Es gibt da allerdings dann wieder eine Zahl in N die größer als k ist und auch keine Primfaktorzerlegung besitzt usw.
Also muss die Anzahl der Primzahlen auch unendlich sein. |
Monika
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 08:58: |
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natürlich mein ich k > n |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Oktober, 2001 - 09:10: |
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Hallo Monika
Das ist doch genau das, was daler gemacht, nach der Annahme endlich vieler Primzahlen gibt er eine an, die dann eine neue Primzahl sein müsste.
Dein Vorgehen funktioniert leider nicht, da sich aus endlich vielen Primzahlen unendlich viele Zahlen konstruieren lassem, allein aus der 2 kann man 2,2²,23,... erzeugen, und das sind schon unedlich viele, d.h., nur weil es unendlich viele Zahlen gibt, heißt das nicht, dass endlich viele Primfaktoren nicht ausreichen können.
viele Grüße
SpockGeiger |
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