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Beitrag |
    
Gerd
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 19:19: | 
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Hi!
Ich arbeite jetzt schon seit Tagen an dem Problem, aber irgendwie klappt nix so richtig...
Man lege n (mit n Element IN) Ebenen so in den (dreidimensionalen) Raum, daß sie sich alle in einem Punkt schneiden und jeweils drei untereinander keine gemeinsame Gerade besitzen.
Zu entwickeln ist eine Formel für die Anzahl der Teilräume, in die die n Ebenen den Raum aufteilen. Man beweise die Formel durch vollständige Induktion.
Hat jemand eine Idee? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 21:57: |
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Hi Gerd ,
Sprechweise: Die Gesamtheit aller Ebenen durch einen
Punkt heisst Ebenenbündel .
Bei der Teilung des R3 durch n Ebenen eines Bündels,
von denen keine drei durch eine Gerade gehen,
sei c(n) die gesuchte Anzahl der Raumteile
Es ist:
c(n) = n * (n - 1 ) + 2
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Es gilt die Rekursionsformel:
c (n +1) = c(n) + 2 n
Verankerung: c(1) = 2 , auch: c(2) = 4 , c(3) = 8 .
Induktionsbeweis:
c( n +1) = n*(n -1) + 2 + 2 n = (n+1) * n + 2 w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 11:18: |
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Hi Gerd,
Im Umfeld der soeben gelösten Aufgaben gibt es
noch andere hübsche Probleme, die ich Dir nicht
vorenthalten möchte.
Auf eine Beweisführung soll verzichtet werden.
Hingegen möchte ich auf die Herkunft der Sätze
hinweisen.
Sie stammen aus dem 1.Band des Werkes von
Jakob Steiner, schweiz.Mathematiker (1796-1863)
unter dem Titel
"Einige Gesetze über die Teilung der Ebene
und des Raumes".
a) n Ebenen im Raum, wovon keine zwei parallel sind,
keine drei durch eine Gerade und keine vier durch
einen Punkt gehen, zerlegen den Raum in
t(n) = (n ^ 3 + 5 n + 6 ) / 6 Teile, wovon sich
c(n) = n (n-1) + 2 (!) bis ins Unendliche erstrecken,
während d(n) = ( n -1 ) tief 3 vollständig begrenzt sind
Beachte:
t(3) = 8 , c(3) = 8 , d(3) = 0, das ist plausibel .
t(4) = 15 , c(4) = 14, d(4) = 1,dies leuchtet ebenfalls ein.
Zur letzten Zeile:
Vier beliebige Ebenen zerlegen den Raum in 15 Teile,
wovon genau einer begrenzt ist ( Tetraeder als Körper),
Ueber jeder der vier Ecken des Tetraeders liegt ein Dreikant,
über den vier Seiten und sechs Kanten liegen die andern Raumteile.
b) n Gerade einer Ebene, wovon keine zwei parallel sind
und keine drei durch einen Punkt gehen, teilen die Ebene in
u (n) Felder , wovon v(n) vollständig begrenzt sind,
während sich 2n Felder bis ins Unendliche erstrecken.
Es gilt:
u(n) = ½ ( n ^ 2 + n + 2 )
v(n) = ½ ( n ^ 2 - 3 n + 2 )
Das Ergebnis von b) kann zur Herleitung der Resultate in a)
benützt werden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Gerd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Oktober, 2001 - 17:27: |
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Erstmal vielen Dank, aber ich habe immer noch ein Problem.
Wenn ich eine Rekursionsformel wie oben vermute bzw. auch eine explizite Formel finde, dann kann ich die eine selbstverständlich durch die andere induktiv beweisen.
Aber für mich ist der Zusammenhang, daß eben diese Formel die Zahl der Teilräume angibt, nicht schlüssig. Durch Abzählen kann ich sie zwar für die ersten n bestätigen, aber die Logik, die dahinter steckt ist mir unklar.
Wie kann ich denn zeigen, daß c(n) genau die Zahl der Teilräume bei der vorliegenden Ebenenanordnung angibt? Ich habe versucht, die Anzahl der möglichen Lagebeziehungen eines beliebigen Punktes im Raum (nicht Element einer der Ebenen) bezüglich aller n Ebenen auszudrücken, bin aber kläglich gescheitert.
Die Aufgabe ist als eine Übungsaufgabe zur vollständigen Induktion gestellt; deshalb denke ich, daß der Beweis der expliziten Formel, den Du angibst, für die Übung genügt.
Trotzdem hab ich noch das gleiche Problem. |
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