| Autor |
Beitrag |
    
Tristin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 10:29: | 
|
Hab Probleme mit einigen Beispielen:
1. Zeige, daß sich eine Dgl. der Form
y' = (ax+by+c)/(dx+ey+f)
mit Determinante (a b) = 0
(d e)
auf eine seperable Dgl zurückführen läßt.
Ich weiß zwar, daß (ax+by) = µ*(dx+ey) ist, das hilft mir aber irgendwie absolut nicht weiter.
2.
Löse die Dgl.
e^y + y * cos(x*y)+(x*e^y+x*cos(x*y))*y' = 0
vielen Dank im Voraus
~Tristin~ |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 13:58: |
|
Hi Tristin
Lösung Deiner ersten Aufgabe::
Vorausgesetzt wird: ae - bd = 0
1.Fall :
e ist von null verschieden
Die DGl. lässt sich umformen zu:
y ' = [b/e*(dx + ey + f ) + c - b*f/e] / [dx + ey + f ]
Nun bietet sich die Substitution
v = dx + ey + f an
Aus e*y = v - d x - f finden wir
y ' = 1 / e* {dv / dx - d};
wir erhalten eine DGl für v', welche separabel ist:
d v / dx - d = [bv + ec - bf ] / v oder
dv / dx = [ v * ( b + d ) + c e - b f ) ] / v
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Fall
e = 0
Daraus folgt : b = 0 oder d = 0
Im Fall b = 0 sind die Variablen schon getrennt ,während
im Fall d = 0 die Substitution ax + by = v zum Ziel ,
d.h. zur Trennung der Variablen, führt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 16:03: |
|
Tristin :
Die Dgl. hat die Form
P(x,y) + Q(x,y)*y' = 0.
PrŸfe nach, dass P_y(x,y) = Q_x(x,y), d.h.: die Dgl. ist exakt. Die allg. Loesung erkennt man
schon durch "scharfes Hinsehen" :
x*e^y + sin(xy) = C
mfG
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Oktober, 2001 - 18:00: |
|
Hi Tristin ,
Zur ersten Aufgabe.
Es ist sicher lohnend ,zu dieser Aufgabe
ein numerisches Beispiel durchzurechnen .
Löse die Dgl.
y ' = ( x + 2 y +1 ) / ( 2 x + 4 y -1 )
Stationen auf dem Lösungsweg:
Die transformierte Gleichung lautet.
v ' = dv / dx = (4 * v + 6) / v
Zugehörige allgemeine Lösung (Integrationskonst.C):
x + C = ¼ * v - 3 / 8 * ln ( 2 v + 3 )
Substitution rückgängig gemacht:
- ½ x + y - ¼ - 3 / 8 * ln ( 4 x + 8 y +1) = C
Maple liefert die allgemeine Lösung:
x - 2 y(x) - 1 + ¾ ln ( 8 y(x) + 1+ 4x ) - ¾ ln(4) = _C1 ,
Die Resultate stimmen im Kern der Sache überein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
|
