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Hansi (Mrx)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 20:08: | 
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Hallo, bei meiner Aufgabenstellung hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen !
Nun in korrekter Frage ...
Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, die beide Primzahlen sind, nennt man Primzahlzwillinge !!! (5,7 oder 9,11) - diese sind immer nur 2 auseinander. 13,17 sind bspw. keine !!!
Zeigen Sie das die Summe zweier Primzahlen >3 die solch ein Zwillingspaar bilden stets durch 12 teilbar sind.
Fälschlicherweise war die Frage zuerst warum sie durch "2" teilbar ist. Ich meinte natürlich warum bei diesem besonderen Fall die Summe zweier Primzahlzwillinge stets durch 12 teilbar ist. |
Ogilvy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 13:59: |
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Hallo Mrx,
Wenn die Summe dieser Zahlen durch 12 teilbar sein soll, dann muss die Hälfte dieser Summe durch 6 teilbar sein.
Denn:
Da die Zahlen sich um 2 unterscheiden, ist die Hälfte dieser Summe, die gleich dem doppelten arithmetischen Mittel der beiden Zahlen ist, gerade die Zahl z zwischen den Primzahlzwillingen.
z muss also durch 6 teilbar sein.
Da von vorherein klar ist, dass eine Zahl zwischen zwei Primzahlen durch 2 teilbar ist, reicht es also, zu zeigen, dass z immer durch 3 teilbar ist.
Hier gehts los:
z ist von der Form z=3m+1 mit m€IN
=> die um 1 kleinere Zahl ist dann 3m, diese ist durch 3 teilbar.
Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass diese der kleinere Zwilling des Primzahlpaares ist.
z ist von der Form z=3m+2 mit m€IN
=> die um 1 größere Zahl ist dann 3m+3, diese ist durch 3 teilbar.
Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass diese der größere Zwilling des Primzahlpaares ist.
Da eine Zahl z immer von einer der Formen 3m, 3m+1 oder 3m+2 ist, kann z nur noch von der Form 3m sein, also muss z durch 3 teilbar sein.
Eine Primzahl p>2 ist immer eine ungerade Zahl, also immer von der Form
p=2k+1 mit k€IN.
Primzahlzwillingspaar ist dann immer von der Form 2k+1; 2k+3.
Die Zahl 2k+2 zwischen ihnen ist z, also gilt z=2k+2.
Ihre Summe ist 4k+4 = 2z, oben wurde gezeigt, dass z immer von der Form z=3m ist, also muss auch 4k+4 von der Form 3m mit m€IN sein.
Also muss 4k+4 durch 3 teilbar sein, und da 4 und 3 teilerfremd sind, ist das nur möglich, wenn 4k+4 durch 12 teilbar ist. |
Hansi (Mrx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 14:42: |
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Vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen ! |
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