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Beitrag |
    
ender michael (Ender_Michael)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 18:04: | 
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10.10.
hallo, soll folgende geburtstagsprobleme (behandlung nach feuerpfeil - heigl) lösen:
1. in einem sall befinden sich n personen. wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass mind. 2 dieser personen denselben geburtstag haben? berechnung für 2 - 80 personen
2. ich befinde mich unter n personen auf einem platz. wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass mind. eine dieser personen denselben geburtstag hat wie ich?
berechnung für 2 - 80 personen
vor behandlung der probleme anwendung jed3es problems auf vorhandene personenzahl im raum rechnen. |
Golvy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 07:16: |
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Keine Ahnung, ob ich das richtig mache.
Ich schreibe dies auch nur hier, weil sonst noch niemand geantwortet hat.
Die Behandlung nach feuerpfeil - heigl ist mir leider auch nicht bekannt.
Hoffentlich ist mit "denselben geburtstag haben" nicht gemeint, dass sie am selben Tage geboren sind, sondern nur am selben Jahrestag. Sonst könnte das leicht schwierig werden. Schaltjahresregelung verkompliziert die Sache ebenfalls. Aber Wahrscheinlichkeiten sind ja nur Anhaltswerte, auf die man sich nie exakt verlassen kann. Also näherungsweise wird das schon stimmen.
Ich überlege das so:
Das Ereignis E dass mindestens zwei dieser Personen am gleichen Tage Geb. haben, ist komplementär zu dem, dass alle an verschiedenen Tagen Geb. haben.
also gilt P(E) = 1-P(Ê) mit Ê: alle an verschiedenen Tagen.
P(Ê) berechnet sich so:
die erste Person darf an einem beliebigen Tag der 365 Tage geboren sein: 365/365
der Geb. der zweiten Person darf auf alle Tage außer diesem einen verteilt werden: also auf 364 von 365.
der Geb. der dritten Person darf auf alle Tage außer diesen beiden verteilt werden: also auf 363 von 365.
usw.
ergibt als Produkt
365 364 363 362
---*---*---*---* ...
365 365 365 365
solange bis alle n Personen mit eingerechnet wurden, man hat also n Brüche als Faktoren.
Macht im Zähler das Produkt von 365 bis (365-n+1) und im Nenner 365^n.
Das bedeutet wiederum, dass man (365-n) Faktoren nicht hatte, also kann man den Zähler auch darstellen als 365!/(365-n)!
und kommt damit zur Formel für P(Ê)=
365!
------------
(365-n)! * 365^n
und die wahrscheinlichkeit, dass mind. 2 dieser n personen denselben Jahrestag als geburtstag haben, ist dann P(E) = 1- P(Ê)
z.B. für n=2 ergibt sich
P(E2: es haben von 2 Personen mind. 2 am selben Jahr.-Tag Geb.) = 0.0027
P(E3: es haben von 3 Personen mind. 2 am selben Jahr.-Tag Geb.) = 0.0082
P(E10: ... von 10 Personen ...) = 0.12
P(E20) = 0.41
P(E22) = 0.48
P(E23) = 0.51
P(E25) = 0.57
P(E30) = 0.71
P(E40) = 0.89
P(E50) = 0.97
P(E60) = 0.994
P(E70) = 0.999
P(E80) = 0.9999
Aufgabe:
2. ich befinde mich unter n personen auf einem platz. wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass mind. eine dieser personen denselben geburtstag hat wie ich?
berechnung für 2 - 80 personen
Wieder über das Gegenereignis Ê: niemand hat am selben Jahrestag wie ich Geburtstag.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das auf jemand anders zutrifft, ist 364/365, und das ist bei allen gleich, es dürfen alle am selben Tag Geburtstag haben, nur muss es einer von den 364 Tagen sein, die nicht mein Geburtstag sind.
also P(Ê) = (364/365)^n
und damit P(E)=1- (364/365)^n
P(n=2) = 0.0055
P(n=3) = 0.0082
P(n=4) = 0.011
P(n=10) = 0.027
P(n=15) = 0.04
P(n=20) = 0.05
P(n=30) = 0.08
P(n=40) = 0.1
P(n=50) = 0.13
P(n=60) = 0.15
P(n=70) = 0.17
P(n=80) = 0.2
vom prinzipiellen, rein qualitativen Verlauf her sehen die Graphen P(n)
etwa so aus:
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