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Beitrag |
    
poldi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 13:48: | 
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folgende Aufgabe:
1/(|x-1|-2)>3
is ,glaub ich, mit einer normalen fallunterscheidung nicht zu machen, kann mir jemand helfen und erklären, wie das geht?
danke
poldi |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 14:07: |
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Ich denke doch, daß das mit einer normalen Fallunterscheidung zu machen ist:
1. Fall: x³1
In diesem Fall ist |x-1|=x-1, also
1/(|x-1|-2)=1/(x-3) (nur definiert für x¹ 3),
also ergibt sich äquivalent
x-3<1/3 bzw. x<10/3.
2. Fall: x<1
Dann |x-1|=-(x-1)=-x+1, d.h
1/(|x-1|-2)=1/(-x+1-2)=1/(-x-1)=-1/(x+1), also
1/(x+1)<-3 bzw. x+1>-1/3 bzw. x>-4/3.
Ergebnis:Die Lösungsmenge ist gleich
{x aus IR | x aus ]-4/3,1[ oder x aus [1,10/3[\{3}}
={x aus IR | x aus ]-4/3,10/3[\{3}}. |
Zogi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 16:08: |
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Hi Lars, poldi hat schon recht, mit einer Fallunterscheidung ist das nicht zu machen.
Nach deiner Lösungsmenge sind x=0 oder x=1 oder x=2 erlaubt.
Setz die Werte mal in die Ungleichung ein, sie passen nicht.
Tipp an poldi:
Unterscheide die fünf Bereiche
x € ]-oo; -4/3[
x € ]-4/3; -1[
x € ]-1; 1]
x € ]1; 3[
x € ]3; +oo[ |
Zogi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 16:20: |
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statt x € ]3; +oo[
natürlich noch bei 10/3 eine Bereichsgrenze
und damit sechs Bereiche:
x € ]-oo; -4/3[
x € ]-4/3; -1[
x € ]-1; 1]
x € ]1; 3[
x € ]3; 10/3[
x € ]10/3; +oo[ |
J
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 16:36: |
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schaut euch doch einfach mal den graphen zu f(x) = 1/(|x-1|-2) -3 auf irgendeinem funktionenplotter an! Berücksichtigt dabei, dass f an den stellen -1 und 3 nicht definiert ist.
Der graph ist meiner meinung nach klarer als alle rechnungen, die ihr hier beigesteuert habt.
Gruß J |
Zogi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 16:56: |
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ihr? - habe noch gar nichts gerechnet... |
Zogi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 17:17: |
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3 < 1 / ( |x-1| -2 )
1. Fall: x-1 >= 0 <=> 1 <= x
=> |x-1|=x-1, =>
1 / ( |x-1| -2 ) =1/(x-3)
Damit wird die Ungleichung zu
=> 3 < 1/(x-3)
1a)
0 < x-3 <=> 3<x
Damit wird 3 < 1/(x-3) zu
3(x-3) < 1
3x-9<1
3x<10
x < 10/3
also Resultat bei 1a)
(1 <= x) und (3 < x) und (x<10/3)
=> 3 < x < 10/3
1b)
x-3 < 0 <=> x < 3
Damit wird 3 < 1/(x-3) zu
3(x-3) > 1
3x-9 > 1
3x > 10
x > 10/3
also Resultat bei 1b)
(1 <= x) und (x < 3) und (10/3 < x)
=> (10/3 < x) und (1 <= x) , dies schließt sich aus => IL1b = { }
2. Fall: x-1 < 0 <=> x<1
=> |x-1|=-(x-1)=-x+1
1 / ( |x-1| -2 ) = 1/(-x+1-2) = 1/(-x-1)
Damit wird die Ungleichung zu
=> 3 < 1/(-x-1)
2a) -x-1 < 0 <=> -1 < x
=> 3(-x-1) > 1
=> -3x-3 > 1
=> -3-1 > 3x
=> -4/3 > x
=> x < -4/3
also Resultat bei 2a)
(x < 1) und (-1 < x) und (x < -4/3)
=> (-1 < x) und (x < -4/3)
dies schließt sich aus => IL2a = { }
2b)
0 < -x-1 <=> x < -1
aus 3 < 1/(-x-1) wird dann
3(-x-1) < 1
-3x -3 < 1
-3-1 < 3x
-4/3 < x
also Resultat bei 2b)
(x < 1) und (x < -1) und (-4/3 < x)
also (-4/3 < x) und (x < -1)
=> -4/3 < x < -1
Gesamtresultat:
-4/3 < x < -1 oder 3 < x < 10/3
Und ich dachte, es genügt, dass Maple das sagt...
... wenn poldi sich aber auch ewig nicht meldet... |
UND
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 20:01: |
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Hallo Zogi,
Warum beim Gesamtresultat: ODER ??? |
Zogi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 21:05: |
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Hi UND, erklärst du mir,
wie eine Zahl x
die Ungleichung -4/3 < x < -1
UND gleichzeitig die Ungleichung
3 < x < 10/3
erfüllen sollte? |
Immer UND
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Oktober, 2001 - 22:52: |
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Hallo Zogi,
Die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlen x aus der Menge ]-4/3; -1[ UND allen Zahlen aus der Menge ]3; 10/3[
Deiner Argumentation folgend, könnte man auch nicht 3<x<10/3 schreiben sondern:
x=3,01 ODER 3,02 ODER 3,03 ODER 3,04 ....
(ODER auch noch dazwischen!) |
Zogi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 03:01: |
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Hallo,
ok, das mit "und" bzw. "oder" war schlecht formuliert, dann eben so:
Lies "Schnittmenge" statt "und" und
"Vereinigungsmenge" statt "oder".
So dass es z.B. heißt:
also Resultat bei 1a)
IL1a) = {x € IR | 1 <= x} geschnitten mit {x € IR | 3 < x} geschnitten mit {x € IR | x<10/3}
=> IL1a) = {x € IR | 3 < x < 10/3 }
und analog bei 2b)
=> Gesamtresultat ("U" soll "vereinigt" heißen):
IL = {x € IR | {-4/3 < x < -1} U {3 < x < 10/3} }
Was mit x=3,01 etc. gemeint ist, verstehe ich nicht. |
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